Modelado De Sistemas Físicos

Modelado De Sistemas Físicos

OBJETIVO:

El alumno:

a) comprenderá las leyes fundamentales que rigen a los elementos y sistemas físicos (mecánicos, fluidicos, térmicos, etc. ).

b) Comprenderá que es posible representar a los sistemas lineales mediante ecuaciones diferenciales.

INTRODUCCIÓN

El análisis de sistemas constituye, en condiciones especificas, la investigación del funcionamiento de un sistema cuyo modelo matemático se conoce.

El diseño de sistemas se refiere al proceso de encontrar un sistema que satisfaga una tarea específica. Cualquier tentativa de diseño de un sistema debe empezar a partir de una predicción de su funcionamiento antes de que el sistema pueda diseñarse en detalle o construirse físicamente. Tal predicción se basa en una descripción matemática de las características dinámicas del sistema. A esta descripción matemática se le llama modelo matemático.

2.1 MODELADO MATEMATICO

Para los sistemas físicos, la mayoría de los modelos matemáticos que resultan útiles se describen en términos de ecuaciones diferenciales. Los modelos empleados serán aquellos que resulten más simples, útiles y operativos a fin de facilitar su estudio, sin olvidar por supuesto que deben ser un reflejo, lo más fiel posible del comportamiento real del sistema.

La dinámica de sistemas trata del modelado matemático y el análisis de la respuesta de los sistemas dinámicos. Hoy en día, el diseño de ingeniería requiere de un concienzudo estudio de esa materia.

Al aplicar las leyes físicas a un sistema específico, es posible desarrollar un modelo matemático que describa al sistema. Tal sistema puede incluir parámetros desconocidos, los cuales deben evaluarse mediante pruebas reales. Cuando se intenta construir un modelo, debe establecerse un equilibrio entre la simplicidad del modelo y la exactitud de los resultados del análisis.

Para determinar un modelo razonablemente simplificado, se necesita decidir cuáles de las variables y relaciones físicas pueden despreciarse y cuales son cruciales en la exactitud del modelo. Ningún modelo matemático puede representar cualquier componente o sistema físico con precisión, siempre se involucran aproximaciones y suposiciones.

En base a los párrafos anteriores se puede establecer el siguiente procedimientos de diseño.

2.1.1 ELEMENTOS BÁSICOS DEL MODELADO

Resistencia.

Los elementos resistivos se caracterizan principalmente por su capacidad para disipar energía, esto es, la energía suministrada al sistema se disipa o se transforma a través de ellos.

Capacitancia

Los elementos capacitivos se caracterizan por la propiedad de almacenar energía en forma de campo eléctrico que a su vez la suministran a otros elementos del sistema. La rapidez con que ceden la energía depende del valor de la capacitancia y del elemento resistivo al cual dicha energía es transferida.

Inductancia

Los elementos inductivos se caracterizan por la propiedad de almacenar energía en forma de campo magnético que a su vez la suministran a otros elementos del sistema en forma instantánea.

2.2 MODELADO DE SISTEMAS MECÁNICOS

Un amortiguador es un elemento que provee resistencia en el movimiento mecánico, y como tal, su efecto es similar al de un resistor eléctrico.

En un sistema mecánico, un amortiguador consiste en un pistón y un cilindro lleno de aceite. Cualquier movimiento relativo entre el vástago del pistón y el cilindro encuentra resistencia por el aceite ya que éste debe fluir alrededor del pistón de un lado a otro. Esencialmente, el amortiguador absorbe energía y la disipa en forma de calor que fluye al ambiente. El amortiguador se puede representar como se indica en la figura 1.

En el amortiguador, la fuerza fB que actúa sobre él es proporcional a la velocidad a la cual se mueve el amortiguador, es decir,

 fB es la fuerza que producida por el amortiguador, se opone al movimiento de éste, y es igual a la fuerza externa f ( N )

 dx/dt es la velocidad a la cual se mueve el amortiguador y se representa por la letra v, ( m / s )

 B es la constante del amortiguador o coeficiente de fricción viscosa. ( N – s / m )

En los sistemas mecánicos rotacionales, el par aplicado al amortiguador rotacional es proporcional a la velocidad angular a la cual gira, es decir,

 TB es la fuerza que producida por el amortiguador, se opone al giro de éste y es igual al par externo aplicado T ( N.- m )

 d/dt es la velocidad angular a la cual gira el amortiguador y se representa por la letra , (rad / s)

 B es el coeficiente de fricción viscosa de torsión . ( N – m / rad/s )

En conclusión, normalmente se trata al coeficiente de fricción viscosa como a la resistencia mecánica.

Por lo tanto la resistencia mecánica para el amortiguador traslacional es,

y para el amortiguador de torsión

Existen dos tipos de capacitancia mecánica, la traslacional o masa y la rotacional o inercia.

La capacitancia mecánica traslacional o masa se representa por el símbolo de la figura 3

Las variables asociadas con este elemento son fuerza y aceleración y su comportamiento esta definido por

 fM es la fuerza que producida por la masa, se opone al movimiento de ésta y es igual a la fuerza externa aplicada f ( N )

 d2x/dt2 es la aceleración a la cual se mueve la masa y se representa por la letra a ( m / s2 )

 M es el valor que tiene la masa o capacitancia mecánica traslacional ( Kg )

La capacitancia mecánica rotacional o inercia se representa por medio de la figura 4

Las variables asociadas con este elemento son par y aceleración angular y su comportamiento físico esta definido por:

 TJ es el par, que producido por la inercia, se opone al movimiento de ésta y es igual al par externo aplicado T ( N - m )

 d2/dt2 es la aceleración angular a la cual gira la inercia y se representa por la letra  ( rad / s2 )

 j es el valor de la inercia o capacitancia mecánica rotacional ( kg – m2 /rad )

En conclusión, normalmente se trata a la masa como la capacitancia mecánica traslacional.

y a la inercia como la capacitancia mecánica rotacional

Existen dos tipos de inductancia mecánica, el resorte traslacional y el resorte rotacional o torsional.

Un resorte lineal es un elemento mecánico que puede ser deformado por una fuerza externa tal que la deformación sea directamente proporcional a la fuerza o par que se le aplique.

En la figura 5, se muestra la representación de un resorte o inductancia mecánica traslacional

Las variables asociadas a este elemento, son la fuerza y el desplazamiento definidos por

 fK es la fuerza que producida por el resorte o inductancia mecánica traslacional , se opone al movimiento de éste y es igual a la fuerza externa aplicada f (N)

 x es el desplazamiento del resorte o inductancia mecánica traslacional ( m )

 k es el valor o la constante del resorte ( N / m )

En los sistemas mecánicos rotacionales, un resorte de torsión se representa por el símbolo de la figura 6.

El par y el desplazamiento están relacionados por,

 Tk es el par que producido por el resorte se opone al giro de éste y es igual al par externo aplicado T (N)

  es el desplazamiento angular del resorte ( rad )

 K es la constante del resorte de torsión ( N – m / rad )

En conclusión, normalmente se trata a la constante del resorte k como la inductancia mecánica.

Por lo tanto la inductancia mecánica para el resorte traslacional es,

y la inductancia para el resorte rotacional es,

Las constantes del resorte indican rigidez; un gran valor de k corresponde a un resorte duro y un valor o pequeño de k a un resorte suave.

Ecuaciones de equilibrio.

Las ecuaciones de equilibrio de los sistemas mecánicos se plantean con base en las leyes de Newton y el principio de D’Alembert.

La primera ley de Newton, que trata de la conservación de la cantidad de movimiento, establece que la cantidad de movimiento, total de un sistema mecánico es constante en ausencia de fuerzas externas.

La cantidad de movimiento es el producto de la masa m y la velocidad v, para el movimiento traslacional o lineal.

En el movimiento rotacional, la cantidad de movimiento es el producto del momento de inercia J y la velocidad

...