Muestreo y métodos de estimación. Intervalos de confianza

Objetivo: La presente guía taller pretende que el estudiante consolide los conceptos y procedimientos de la estimación de parámetros mediante intervalos de confianza

Instrucciones:

1. Ingrese a la unidad 2 y específicamente al tema 3 Estimación por intervalos de confianza.
2. Realice el estudio del tema observando las presentaciones y demás materiales dispuestos. Tome apuntes y haga resúmenes de los conceptos y procedimientos que se explican, repita los ejemplos que se desarrollan, y si así lo requiere, complemente con información extra sugerida.
3. Desarrolle la guía taller en la medida en que realiza el estudio del tema, si siente que debe volver a repasar alguna parte del tema, ¡hágalo! Lo importante es la comprensión y aprendizaje del mismo.
4. Corrobore sus respuestas con las soluciones sugeridas al final de la guía taller, siempre con el ánimo de consolidar lo aprendido, corrija lo que debe corregir, pero entendiendo todo el proceso de corrección.

Ejercicios

1. ¿Qué es un intervalo de confianza?

Es en encontrar un rango de valores dentro del cual se cree que el parámetro correspondiente se encuentra. La estimación por intervalos  nace por el riesgo que se corre al usar solo la estimación puntual, es evidente que usar un solo valor a partir de la muestra, como estimador del parámetro, es una posición muy simplista, ya que solo dependemos de ese valor, que claro está, no será ni igual y si posiblemente muy diferente al parámetro que pretende estimar.

1. ¿Qué entiendes por nivel de confianza 1-α?

Corresponde al grado de seguridad que entrega el intervalo, se pude interpretar como una tasas de acierto a largo plazo, es decir, si fuese posible construir todos lo intervalos de confianza posibles, en el 1-α % de ellos se esperaría que el parámetro estuviera presente.

1. Para construir un intervalo de confianza para la media poblacional ¿Qué supuesto se debe asumir en cuanto a la distribución de la población?

Debe tenerse en cuenta el supuesto distribucional de la población, en este curso se asumirá siempre que la población presenta una distribución normal. Otro elemento a considerar es el conocimiento de los parámetros de la distribución normal, puede que la varianza o respectivamente la desviación estándar sea conocida o no, en caso se conocerse el intervalo se construye con base en la distribución normal estándar, los valore de Z para un nivel de  medios

1. Escribe la fórmula usada en un intervalo de confianza para la media conociendo la desviación estándar poblacional.

La fórmula usada es:  ̅ ± 𝑍[pic 2]        𝜎

                                                                        𝖺/2 √𝑛

1. ¿Qué efecto tendría en el intervalo de confianza si el tamaño de la muestra aumentara? ¿Se hace más estrecho o más amplio el intervalo?

Según lo estudiado el intervalo se hace más preciso, es decir más angosto.

1. ¿Qué efecto tendría en el intervalo de confianza si el nivel de confianza usado aumenta? ¿Se hace más estrecho o más amplio el intervalo?

El intervalo se hace más amplio, aumenta su longitud

1. Escribe la formula usada en el intervalo de confianza para estimar la media desconociendo la desviación estándar poblacional y con n<30.

La fórmula es:  ̅ ± 𝑡

                                                𝖺/2;−1 [pic 3]

1. ¿Qué es la distribución t de student? ¿para que usa en intervalos de confianza?

      la distribución t de estuden, es un modelo teórico utilizado para aproximar el momento de primer orden de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño y se desconoce la desviación típica.

y se usualmente se emplea en la distribución t en tamaños muéstrales pequeños, cuando la desviación estándar de la población no se conoce o ambos en comparación con la distribución normal estándar.

1. Encuentre usando la tabla t de Student los siguientes valores:

t0.025; 8 =2.3060

t0.05; 15=1.7531

t0.01; 21=2.5176

t0.10; 26=1.3150

1. Un intervalo de confianza para la media de una población es estimado con un nivel de confianza de 95%, el resultado fue: (18.5 ; 20.5) ¿Cuál es la interpretación adecuada de dicho intervalo?

Con un nivel de confianza de 95% la media poblacional se estima entre 18.5 a 20.5.

1. Escribe la formula usada en el intervalo de confianza para la proporción poblacional.

                 La fórmula usada es 𝑃̂ ± 𝑍𝖺/2;  √𝑃̂(1−𝑃̂)[pic 4]

1. Escribe la formula usada en el intervalo de confianza para la varianza poblacional.

La fórmula es

𝜒2        =30.5779[pic 5]

𝜒2        =16.9190[pic 6]

𝜒2        =37.9160[pic 7]

𝜒2        =4.4038[pic 8]

𝜒2        =4.8652[pic 9]

𝜒2        =12.1981[pic 10]

1. ¿Qué es la distribución chí cuadrada? ¿para que se usa en intervalos de confianza?

 La distribución chí cuadrada es un caso especial de la distribución gamma y es una de las distribuciones de probabilidad más usadas en Inferencia Estadística, y se usa principalmente en pruebas de hipótesis y en la construcción de intervalos de confianza.

1. Encuentre usando la tabla de la distribución chi cuadrada los siguientes valores:

X20.01; 15 = 30.5779

        X20.05; 9 =16.9190

X20.1; 28=37.9160

        X20.975; 12=4.4038

        X20.90; 10= 4.8652

X20.99; 26 =12.1981

1. Una máquina que llena cajas de cereales, pone 375 gr. de cereal cuando funciona correctamente. La cantidad colocada en la caja tiene una distribución normal, con una desviación estándar de 3

gr. El gerente de producción rechazará el llenado sólo si hay pruebas de que la cantidad promedio de cereal puesta en cada caja es menor. Si se selecciona una muestra aleatoria de 35 cajas y se obtiene un promedio de 368 gr, con un intervalo de confianza del 95%, ¿será que se rechazará el llenado? (358.06 ; 377.94) No debe rechazarlo.

1. Se registró el tiempo transcurrido entre la facturación y la recepción del pago, para una muestra de 39 clientes en una empresa dada, la media y la desviación estándar son respectivamente: 39.1 días y 17.3 días.

1. Obtenga un intervalo de confianza del 90% para el tiempo medio entre la facturación y el pago e Interprételo. (34.54; 43.66)        
2. Obtenga un intervalo de confianza para la varianza del tiempo transcurrido al 95% de nivel de confianza. (199.89 ; 497.10)

1. En cierta población la estatura promedio de los adultos mayores es una variable aleatoria normal con una desviación estándar de 7 cm. Se toma una muestra aleatoria de dicha población de 20 personas y se encuentra una estatura promedio de 166 cm. Encuentre e interprete un intervalo de confianza para la estatura promedio poblacional con un nivel de confianza de 98%

El intervalo es (162.35 ; 169.64)

1. El tiempo de espera para que un paciente sea atendido en un consultorio médico es una variable aleatoria distribuida normal. Se toma una muestra de 7 pacientes y se registra el tiempo de espera en minutos: 14, 18, 16, 15, 13, 18, 21.

1. Mediante el uso de un intervalo de confianza determine si el tiempo promedio de espera de los pacientes es igual a 15 minutos. Use un nivel de confianza de 99%   (12.56 ; 20.29)

b.Usando un 90% de nivel de confianza estime la varianza del tiempo de espera e interprete.

              . (3.63 ; 27.95)

1. En un diario local se afirma que por lo menos el 70% de la población está de acuerdo con la gestión del presidente de la república sobre el proceso de paz en Colombia. Se toma una muestra de 1000 ciudadanos mayores de 18 años encontrando una proporción a favor del 65%, defina si puede el diario sostener su afirmación, use un intervalo de confianza del 90%.

 (0.6251 ; 0.6748)

1. Empresas anunciadoras de televisión consideran que su publicidad es entendida por la mayoría de los televidentes, por lo cual para verificar dicha consideración se entrevistaron a 2300 televidentes de los cuales 1914 no entendían la publicidad de dichos anunciantes, con un intervalo de confianza del 93% estime que porcentaje de televidentes si entienden la publicidad de los anunciantes.

El porcentaje es. (0.1572 ; 0.1819).

1. Escriba la fórmula del tamaño de muestra para estimar la media de una población.

⎡ Z        σ ⎤ 2        n

.

n = ⎢ α / 2        ⎥        n =        o        

⎣        e        ⎦

1+ no

N[pic 11]

1. Escribe la fórmula del tamaño de muestra para estimar la proporción poblacional.

Z 2        p (1− p)        n

.

n =   α / 2        

e2

n =        o

1+ no[pic 12]

N

1. Un investigador desea estimar el salario medio por hora (medido en miles de pesos) en un determinado sector. En concreto, pretende determinar un intervalo de confianza del 95% y un error de estimación de 5 para dicho salario medio. Debido a estudios anteriormente realizados, está dispuesto a aceptar que los salarios siguen una distribución normal con desviación estándar de 25. ¿Qué tamaño de muestra deberá utilizar, si la población del sector es de 6500 personas?

El tamaño de muestra para utilizar es n=97

1. Una empresa constructora desea estimar, con un nivel de confianza del 95% y un error de estimación de 2.5%, la proporción de personas de una determinada ciudad que comprarían vivienda de dimensiones comprendidas entre 180 y 200 m2. Para ello pretende tomar una muestra aleatoria simple entre los potenciales compradores de vivienda, disponiendo para realizar el muestreo de $ 10’000.000.

¿Qué tamaño de muestra sugiere? Si cada elemento muestreado supone un costo de $10.000, ¿es suficiente el presupuesto disponible?

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