MAXIMOS Y MINIMOS.

MAXIMOS Y MINIMOS.

En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).

De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.

Extremos relativos o locales

Sea , sea y sea un punto perteneciente a la función.

Se dice que es un máximo local de si existe un entorno reducido de centro , en símbolos , donde para todo elemento de se cumple . Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse .

Análogamente se dice que el punto es un mínimo local de si existe un entorno reducido de centro , en símbolos , donde para todo elemento de se cumple .

Extremos absolutos

Sea , sea y sea un punto perteneciente a la función.

Se dice que P es un máximo absoluto de f si, para todo x distinto de pertenenciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de . Esto es:

máximo absoluto de .

Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de perteneciente al subconjunto A, su imagen es mayor o igual que la de . Esto es:

mínimo absoluto de .

Cálculo de extremos locales

Dada una función suficientemente derivable , definida en un intervalo abierto de , el procedimiento para hallar los extremos de esta función es muy sencillo:

1. Se halla la primera derivada de

2. Se halla la segunda derivada de

3. Se iguala la primera derivada a 0:

4. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: .

5. Se halla la imagen de cada sustituyendo la variable independiente en la función.

6. Ahora, en la segunda derivada, se sustituye cada :

1. Si , se tiene un máximo en el punto .

2. Si , se tiene un mínimo en el punto .

3. Si , debemos sustituir en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que no sea nulo, hay que ver qué derivada es:

1. Si el orden de la derivada es par, se trata de un extremo local; un máximo si y un mínimo si

2. Si el orden de la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión, pero no de un extremo.

Máximos y mínimos

Máximos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mínimos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

Cálculo de los máximos y mínimos relativos

f(x) = x3 − 3x + 2

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

Ejercicios

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