Teoría de ecuaciones

En matemáticas, la teoría de ecuaciones es un conjunto de trabajos cuyo objetivo principal es la resolución de ecuaciones algebraicasNota 1 o equivalentes.Nota 2 Tal ecuación se escribe del modo siguiente:Nota 3

a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots a_1X + a_0 = 0\,

donde X designa la incógnita,.Nota 4 Un número que verifica la ecuación se llama raíz o solución.1

La «teoría de ecuaciones» es una expresión frecuentemente utilizada en historia de ciencias.2 Su estudio remonta a los primeros textos matemáticos conocidos;Nota 5 este primer acercamiento consistía en resolver ecuaciones en las que el grado del polinomio es estrictamente menor que cinco. Durante el Renacimiento y con el estudio de las ecuaciones cúbicas, nuevos tipos números son introducidos, inicialmente calificados de imaginarios, y después números complejos. Más tarde, estos números intervendrán en la resolución de ecuaciones de segundo grado.

A partir de la edad moderna, el polinomio es considerado también una función. Este tratamiento ofrece métodos para determinar el número de raíces reales, para localizarlas, y también permite construir métodos de aproximación tan precisos como se desee. Uno de sus logros es el llamado teorema fundamental del álgebra, según el cual una función polinómica no-constante admite al menos un cero en los números complejos.

Una perspectiva adoptada en el XX, consiste en estudiar el menor conjunto de números estable por las cuatro operaciones y que contiene a la vez coeficientes y raíces de una ecuación dada. Este es el enfoque de la teoría llamada de Galois. Ofrece una condición necesaria y suficiente para saber si una ecuación polinómica se resuelve por las técnicas descritas anteriormente, en caso contrario, deben aplicarse aproximaciones desarrolladas en análisis matemático. Hasta el siglo XIX, la teoría de ecuaciones se confunde con el álgebra, más tarde, y gracias a la teoría de Galois principalmente, el álgebra se extiende para tomar en cuenta nuevas interrogantes. Esta teoría es el origen de vastos dominios de las matemáticas, como la teoría de grupos, la teoría de anillos, la teoría de cuerpos o incluso la geometría algebraica.

Observación: Cuando no se precisa, el término teoría de ecuaciones designa generalmenteNota 6 las ecuaciones polinómicas.3 Por otra parte, existen numerosas ecuaciones que, sin ser algebraicas, también forman parte de una teoría. El uso requiere que se precise la naturaleza de la ecuación considerada, como en la expresión teoría de las ecuaciones diferenciales.4 No existe una teoría única que se aplique a todo tipo de ecuaciones, pues forman un conjunto muy heterogéneo.

Índice [ocultar]

1 Primeros desarrollos

1.1

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