TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES

1.1 Teoría preliminar……………………………………………………….……….…….4

1.1.1 Definiciones (Ecuación diferencial, orden, grado, linealidad)…………………4

1.1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales…………………………………….7

1.1.3 Problema del valor inicial……………………………………………….…………8

1.1.4 Teorema de existencia y unicidad……………………………………….…….…10 1.2 ED de variables separables y reducibles…………………………………….…13

1.3 ED exactas y factor integrante…………………………………………………15

1.4 ED lineales………………………………………………………………………….17

1.5 ED de Bernoulli……………………………………………………………………..18 1.6 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales…………………………………………19

2.1 Teoría de preliminar…………………………………………………………….22

2.1.2Definicion de ED de orden n………………………………………………………22 2.1.3Problemas de valor inicial…………………………….……………………..….23 2.1.4Teorema de existencia y unidad de solución única…………………………….24 2.1.4.1EDL homogéneas…………………………….…………………………………25 2.1.5.1Principios de superposición……………………………………………………26 2.1.6.1Dependencia e independencia lineal………………………………………..26 2.2Reduccion de orden de una EDL…………………………………… 27 2.3Solucion de EDL homogéneas……………………..…………………………….28 2.3.1SoluciondelosEDLnohomogéneas………...…………………….……………….29 2.3.2Metodo por coeficiente de determinado……………………………..………30 2.4 Método de variación de parámetro…………………………………….…………..31

Conclusión………………………………………………………………………………..33

Bibliografía………………………………………………………………………………..34

INTRODUCCIÓN

La educación que confrontamos hoy en día. Por eso requiere que el estudiante tenga un conocimiento al respecto con la materia de ecuaciones diferenciales en esta investigación de las dos primeras unidades, tendrá un conocimiento sobre dicha materia

Una ecuación diferencial es una ecuación de la forma En la que aparecen una variable independiente, una variable dependiente y una primera derivada. La razón por la cual a las ecuaciones de este tipo se les dice ecuaciones diferenciales

En estas dos unidades trataremos los siguientes aspectos de mucha Importancia en la ingeniería y sus diferentes proyecciones a la solución de problemas así: estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden, clasificación, tipo, orden, linealidad y métodos de solución para las ecuaciones de variables separadas y homogéneas. Donde los tipos de ecuaciones diferenciales a trabajar principalmente son las exactas y las lineales, veremos sus características, su modo de identificación y la manera de resolver cada una de ellas, dando ejemplos, ejercicios explicativos y aplicaciones para esta unidad.

Con este fin se busca que el alumno tenga algo de conocimiento, uso y razonamiento de las ecuaciones que se confrontara en la vida cotidiana.

TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES

 Unidad 1: Ecuaciones Diferenciales De Primer Orden

ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIDAD 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Sabiendo problemas con valores iniciales para una ecuación diferencial general de orden n. Para una ecuación diferencial lineal, un problema de valores iniciales de orden n es Resolver:

Tal como hicimos con las ecuaciones de primer orden, empezamos la discusión de ecuaciones diferenciales con la noción de problema de valor inicial. Sin embargo, confinaremos nuestra atención a ecuaciones diferenciales lineales.

Una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden tiene la forma:

1.1.1 DEFINICIONES (ECUACIÓN).

Como su nombre lo indica, una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene algunos términos diferenciales. Estos son los diferenciales de la función que contiene la variable dependiente de la ecuación diferencial dada. Contiene también una o varias variables independientes.

El formato general de una ecuación diferencial es,

O,

Al hablar de las ecuaciones diferenciales, tenemos que entender algunas terminologías básicas relacionadas con estas ecuaciones. Algunas de estas se analizan a continuación.

1. Orden de una ecuación diferencial: El orden más alto de cualquiera de los diferenciales en la ecuación diferencial dada es el orden de la ecuación diferencial. Tomemos un ejemplo para clarificar el término.

d2y/ dx2 – 2yx2 = 9x

El diferencial presente en la ecuación anterior es d2y/ dx2 y el orden de este diferencial es segundo. Por lo tanto, el orden de la ecuación diferencial es uno.

2. Grado de una ecuación diferencial: El grado más alto de cualquiera de los diferenciales en la ecuación diferencial dada es el grado de la ecuación diferencial. El siguiente ejemplo debe aclarar la definición.

d2y/ dx2 – 2yx2 = 9x

En la ecuación diferencial anterior que contiene el diferencial d2y/ dx2, el grado del diferencial es uno, por lo tanto, el grado de la ecuación diferencial es uno.

3. Ecuación diferencial lineal: Una ecuación diferencial que no contiene términos como producto de la función indefinida ni los del diferencial de la función indefinida se llama ecuación diferencial lineal. Manteniéndola recta, todos los términos coeficientes son funciones que contienen variables aumentadas. Esta es de la forma,

Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden.

4. Ecuación diferencial no lineal: Las ecuaciones diferenciales que no se ajustan a las condiciones antes mencionadas son llamadas ecuaciones diferenciales no lineales. Esto significa que una ecuación diferencial no lineal contiene los términos donde la variable dependiente y su diferencial aparecen juntos. Un ejemplo de ello sería,

5. Ecuación diferencial Cuasi lineal: Una ecuación diferencial cuasi lineal es un caso especial de la ecuación diferencial lineal. En este tipo de ecuación diferencial, la función indefinida y sus diferenciales pueden aparecer juntos para todos los términos excepto para los términos que contienen el diferencial de más alto orden. Esta es de la forma,

6. Ecuaciones diferenciales homogéneas: Una ecuación diferencial en la cual cada término tiene como coeficiente sea el diferencial de la variable dependiente o la variable dependiente en sí es una ecuación diferencial homogénea. Esta de la forma,

Es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden.

7. Ecuaciones diferenciales no homogéneas: Las ecuaciones diferenciales que no cumplen la condición establecida anterior son llamadas ecuaciones diferenciales no homogéneas. Estas son de la forma,

8. Solución general de la ecuación diferencial: La integración de la ecuación diferencial produce una solución general para aquella ecuación diferencial. Una ecuación diferencial ordinaria de orden m que contendría n constantes de integración que resultan del proceso de integración en la cascada para m tiempos.

9. Solución particular de la ecuación diferencial: El resultado obtenido en el proceso anterior puede ser modificado para obtener una solución particular mediante la sustitución de algunos valores de las constantes de integración.

1.1.2 SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la

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