Numeros Estelares

Introducción:

En la presente carpeta, se quiere encontrar una proposición general para el enésimo término en las sucesiones formadas por números estelares. Se les denomina números estelares, debido a que cuando se forman dichas sucesiones, van formando vértices, los cuales al unirse forman figuras, como estrellas.

Para empezar, se verán a los números triangulares, ya que tienen que ver con los números estelares. Los números triangulares pueden formar también triángulos. Por ejemplo se puede observar esta la sucesión siguiente:

Se puede observar que los números triangulares no tienen una diferencia constante, si no tienen una diferencia que va aumentado, en este caso, de uno en uno. Para poder encontrar una fórmula para los números triangulares, se realizará unos ejemplos más.

A continuación se presentara un tabla en la que se representen el número de puntos, el número de termino (n) y la diferencia.

Tabla N°1: Número de puntos en los 10 primeros casos de números triangulares

n N° puntos Diferencia

1 1 2

2 3 3

3 6 4

4 10 5

5 15 6

6 21 7

7 28 8

8 36 9

9 45 10

10 55 ……

En el gráfico se puede observar la variación de la diferencia, la cual va aumentado progresivamente de uno en uno, por eso forma una línea curvada ascendente. Ya que si la diferencia fuera constante, los puntos formarían una línea recta ascendente. En este caso se encuentran unidos los puntos, debido a que hay una línea de tendencia, la cual es utilizada para poder sacar una fórmula, que esta expresada en el gráfico, pero normalmente, los puntos no deberían estar unidos.

Ahora gracias a los medios tecnológicos usados, en este caso el programa de Microsoft “Excel 2010”, nos da una fórmula rápidamente, para poder saber cuál es el enésimo término en una sucesión hecha por números triangulares. Esta esta expresada de la siguiente manera:

y=0.5x^2+0.5x

En esta fórmula se puede ver qué “y” es el número de puntos que hay en un triángulo, “x” el número de términos, por eso la fórmula podría quedar de esta manera:

S_n=(n^2+n)/2

Ahora para comprobar la fórmula se realizará la operación con 6 diferentes números, los cuales los resultados ya son conocidos.

Tabla N°2: Comprobación de la validez de la proposición general de los números triangulares

En esta tabla, se puede observar que la proposición general para los números triangulares, si concuerda con cada término de dicha sucesión.

En este gráfico, aunque se pueda observar que también forman la una línea curveada ascendente, lo cual nos lleva a la conclusión de que la fórmula dada, como dije anteriormente, es correcta. Ya que todos los datos concuerdan con la tabla anterior

Como siguiente punto, podemos considerar las figuras estelares, para llegar a una proposición de los números estelares, los cuales tienen p vértices, que se representan como p-estelares. Las figuras son representadas de la siguiente manera:

Se puede observar que los números estelares no tienen una diferencia constante, si no tienen una diferencia que va aumentado, en este caso, de doce en doce. Para poder encontrar una fórmula para los números triangulares, se realizará unos ejemplos más.

A continuación se presentara un tabla en la que se representen el número de puntos (6-estelar), el número de termino (n) y la diferencia.

Tabla N°3: Número de puntos en los 10 primeros casos de números 6-estelar

n N° puntos Diferencia

1 6-1 12

2 6-13 24

3 6-37 36

4 6-73 48

5 6-121 60

6 6-181 72

7 6-253 84

8 6-337 96

9 6-433 108

10 6-541 ……

Se tiene que tomar en cuenta que la notación utilizada es p-estelares, p indica el número de vértices de la estrella. Por eso nos referimos a 6-N° de puntos. Además, observando la tabla se puede notar una particularidad, la cual es que la diferencia entre las diferencias sigue el patrón siguiente:

S_2-S_1=12

S_6-S_5=60

S_10-S_9=108

Se puede ver que todos los resultados son múltiplos de 12, lo cual nos muestra que los términos están dados por el término anterior más un múltiplo de doce. Esto nos lleva a una fórmula recursiva, esta sería:

S_n=S_(n-1)+12(n-1)

Dicha fórmula será comprobada a continuación:

S_6=S_(6-1)+12(6-1)=S_5+12(5)=121+60=181

S_7=S_(7-1)+12(7-1)=S_6+12(6)=181+72=253

S_8=S_(8-1)+12(8-1)=S_7+12(7)=253+84=337

Se puede que ver que la fórmula es correcta, ya que todos los resultados concuerdan con lo sacados anteriormente.

En el gráfico se puede observar la variación de la diferencia, la cual va aumentado progresivamente de doce en doce, por eso forma la rama de una parábola ascendente. Ya que si la diferencia fuera constante, los puntos formarían una línea recta ascendente. En este caso se encuentran unidos los puntos, debido

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