Numeros Reales

Los N¶umeros Reales

Karen Garc¶³a Mesa

tartaglia@lab.matcom.uh.cu

Universidad de la Habana

Yanelys Zald¶³var

Universidad de la Habana

Celia G¶alvez

maria5@lab.matcom.uh.cu

Universidad de la Habana

Avalado por: Dr. Rita Rold¶an

rroldan@matcom.uh.cu

Universidad de la Habana

Resumen

Se estudian varios m¶etodos para construir los n¶umeros reales manteniendo los ax-

iomas que de¯nen a los racionales y uno adicional que puede ser cualquiera de los

siguientes:

Propiedad de continuidad

Principio de intervalos cerrados encajados

Axioma del supremo

Cortaduras de Dedekind

Adem¶as se demuestra la equivalencia entre cada una de estas construcciones.

Palabras y frases Claves: n¶umeros reales, cortaduras, conjunto

Clasi¯caci¶on: An¶alisis Matem¶atico

INTRODUCCI¶ON

Nuestro inter¶es por realizar este trabajo se debe a que pens¶abamos que conoc¶³amos

los n¶umeros reales, pero de¯nitivamente est¶abamos equivocados, pues no nos imag-

in¶abamos ni remotamente su origen. Con nuestro comienzo en la universidad se nos

abrieron numerosas puertas al conocimiento matem¶atico, entre ellas est¶a el conocer

que R surge a partir de los huecos de Q y que existen diferentes manera de de¯nirlo.

Se atribuye a los pitag¶oricos la expresi¶on "Todo es n¶umero". La Escuela Pitag¶orica

fue la primera escuela matem¶atica griega. Antes de ellos se hab¶³a acumulado una

buena cantidad de conocimiento matem¶atico debido a culturas tales como la egipcia

y la babil¶onica; conocimiento con el que entran en contacto los griegos por medio de

los viajes de Tales de Mileto y, luego, del propio Pit¶agoras. Este contacto signi¯ca

para la matem¶atica de la ¶epoca un enorme salto conceptual pues, de una matem¶atica

dedicada en lo esencial a la soluci¶on de problemas de tipo pr¶actico, se pasa a una

matem¶atica interesada en los conceptos y las relaciones que ellos ocultan, es de-

cir una matem¶atica te¶orica. A partir de Tales y Pit¶agoras, la matem¶atica griega

evoluciona por caminos de alta complejidad que, parad¶ojicamente, se estructuran

alrededor de una disciplina com¶un: la geometr¶³a. Es as¶³ como en el siglo IIIa:C:,

m¶as de doscientos a~nos despu¶es de Tales y Pit¶agoras, aparece un texto de importan-

cia capital para la historia de la matem¶atica: los "Elementos"de Euclides, esfuerzo

totalitario de recolecci¶on del saber matem¶atico acumulado hasta la ¶epoca; dotado

de un enorme sentido pedag¶ogico que llev¶o desde su creaci¶on a separarlo en trece

vol¶umenes.

>C¶omo congeniamos estas ideas, aparentemente dispersas, en una sola disciplina

conceptual? Podemos dar un ejemplo si retomamos la idea pitag¶orica original "To-

do es n¶umero", idea que para los propios pitag¶oricos ten¶³a un sentido tan profundo

que adquir¶³a caracter¶³sticas sagradas. En este sentido, Pit¶agoras viene a ser el pre-

decesor original de Leopold Kronecker, el matem¶atico que a¯rm¶o que "Dios cre¶o los

n¶umeros enteros, lo dem¶as lo hizo el Hombre", porque cuando un pitag¶orico hablaba

de n¶umero lo que ten¶³a en mente espec¶³¯camente era un n¶umero racional.

Esto lo podemos ver claramente en "Los Elementos "de Euclides Def:V II;1 y

Def:V II;2. La primera dice que una unidad es aquello en virtud de lo cual ca-

da una de las cosas que hay es llamada una y la segunda a¯rma que un n¶umero es

una pluralidad compuesta de unidades. De¯niciones lo su¯cientemente restrictivas

para separar el concepto de unidad del concepto mismo de n¶umero: una unidad no

es un n¶umero, es el ente que constituye a los n¶umeros.

La visi¶on pitag¶orica del n¶umero como la sustancia constitutiva del Universo, con-

dujo a otra creencia que juega un papel importante en el desarrollo del tema que

nos ocupa: la absoluta conmensurabilidad de los segmentos, es decir, la existencia

de una medida com¶un para dos segmentos distintos cualesquiera. Tambi¶en se asigna

a los pitag¶oricos el descubrimiento del teorema que lleva su nombre el cual, entre

otras muchas cosas, conduce a una importante proporci¶on: el cuadrado construido

sobre la diagonal de un cuadrado es al cuadrado original como 2 es a 1.

1

Ahora bien, esta proporci¶on trae como consecuencia inmediata una interrogante:

>Cu¶al es la proporci¶on que se establece al comparar la diagonal del cuadrado y el

lado del mismo?.

La respuesta

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