Numeros Reales

Números reales.

Propiedades algebraicas y de orden

Como todos sabéis se distinguen distintas clases de números:

Los números naturales 1,2,3,... . El conjunto de todos ellos se representa por N.

Los números enteros ...,-2,-1,0,1,2,... cuyo conjunto se representa por Z.

Los números racionales que son cocientes de la forma p/q donde p ∈ Z, q ∈ N, cuyo conjunto

representamos por Q.

También conocéis otros números como

√

2, π, o el número e que no son números racionales

y que se llaman, con una expresión no demasiado afortunada, "números irracionales". Pues

bien, el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se llama conjunto

de los números reales y se representa por R.

Es claro que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Aunque los números que no son racionales pueden parecer un poco raros, no merece la pena, al

menos por ahora, preocuparse por cómo son estos números; sino que lo realmente interesante

es aprender a trabajar con ellos. Lo interesante del número

√

2 es que su cuadrado es igual a 2.

Pues bien, una de las cosas más llamativas de los números es que a partir de un pequeño grupo

de propiedades pueden deducirse casi todas las demás. Vamos a destacar estas propiedades

básicas que, naturalmente, hacen referencia a las dos operaciones fundamentales que se pueden hacer con los números: la suma y el producto. La suma de dos números reales x, y se escribe

x + y, representándose el producto por xy. Las propiedades básicas a que nos referimos son las

siguientes.

P1 [Propiedades asociativas] (x + y) + z = x + (y + z) ; (xy)z = x(yz) para todos x, y , z en R.

Universidad de Granada

Dpto. de Análisis Matemático

Prof. Javier Pérez

Cálculo – Ing. de Telecomunicación

Números reales. Propiedades algebraicas y de orden 3

P2 [Propiedades conmutativas] x + y = y + x ; xy = yx para todos x, y en R.

P3 [Elementos neutros] El 0 y el 1 son tan importantes que enunciamos seguidamente sus

propiedades:

0 + x = x ; 1x = x para todo x ∈ R.

P4 [Elementos opuesto e inverso] Para cada número real x hay un número real llamado opuesto de x, que representamos por −x, tal que x + (−x) = 0.

Para cada número real x distinto de 0, x , 0, hay un número real llamado inverso de x, que

representamos por x

−1

, tal que xx

−1

= 1.

P5 [Propiedad distributiva] (x + y)z = xz + yz para todos x, y , z en R.

Las propiedades anteriores son de tipo algebraico y, aunque son muy sencillas, a partir de ellas

pueden probarse cosas tan familiares como que 0x = 0, o que (−x)y = −(xy).

Pero los números tienen, además de las propiedades algebraicas, otras propiedades que

suelen llamarse propiedades de orden. Como todos sabemos, los números suelen representarse

como puntos de una recta en la que se fija un origen, el 0, de forma arbitraria. Los números que

hay a la derecha de 0, se llaman positivos y el conjunto de todos ellos se representa por R

+

. Las

propiedades básicas del orden son las siguientes.

P6 [Ley de tricotomía] Para cada número real x se verifica que o bien es x = 0, o bien x es positivo, o bien su opuesto −x es positivo.

P7 [Estabilidad de R

+

] La suma y el producto de números positivos es también un número

positivo.

Suele escribirse x − y en vez de x + (−y). También, supuesto y , 0, se escribe x/y o

x

y

en vez de

xy

−1

. Los opuestos de los números positivos, es decir los elementos del conjunto R = {−x : x ∈

R

+

},

...