NUMEROS REALES

INSTITUTO TECNOLÒGICO DE JIQUILPAN

MATERIA:

CALCULO DIFERENCIAL

TRABAJO:

CLACIFICACION Y PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

ALUMNO:

VEGA UREÑA ERICK

PROFESOR:

CANELA GOMEZ JUAN CARLOS

GRUPO: No. CONTROL

D-2 13420295

INTRODUCCION

En breve daré algunos conceptos, conjuntos y explicaciones que están comprendidos dentro de los números reales. Para lo cual tendré que clasificar este tipo de números y ya que ellos son infinitos solo hablare de uno cuantos, lo más explícito posible para su fácil comprensión.

Por dar un ejemplo de ellos tenemos a los conjuntos de números racionales e irracionales. Los racionales pueden ser representados por cualquier número entero positivo, negativo, por el cero o ya bien fraccionario y los irracionales son números que mayormente son expresados con raíces y logaritmos etc.

DESARROLLO TEMÀTICO

HISTORIA DE LOS NUMEROS REALES

Los egipcios dieron origen por primera vez a las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaban números reales sin una definición precisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.

En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.

También se dice que los números como: I, II, III, IV, V etc. los utilizaron por primera vez los romano mientras que por otra parte los números tal y como los utilizamos y conocemos como los son: 1, 2, 3, 4, 5 etc. los inventaron o impusieron los árabes ya que ellos fueron los primeros que los utilizaron.

NUMEROS RACIONALES

Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda la eternidad.

Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de decimales que se podrían obtener.

Un número racional es una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dos números enteros o más precisamente, un número entero y un número natural positivo. Es decir que es un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción.

Los números racionales son números fraccionarios, sin embargo los números enteros también pueden ser expresados como fracción, por lo tanto también pueden ser tomados como números racionales con el simple hecho de dar un cociente entre el número entero y el número 1 como denominador.

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS RACIONALES

Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas propiedades de los números racionales, estos son:

Entre las propiedades de la suma y resta están:

Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo

necesitara.

ab+cd=ef

Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos:

(ab+cd)−ef=ab+(cd−ef)

Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera:

ab+cd=cd+ab

Elemento neutro.- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional.

ab+0=ab

Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero.

ab−ab=0

Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte de la multiplicación y la división, y estas son:

Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.

ab×cd=ef

Esta además aplica con la división

ab÷cd=ef

Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.

(ab×cd)×ef=ab×(cd×ef)

Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona.

ab×cd=cd×ab

Propiedad distributiva.- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:

ab×(cd+ef)=ab×cd+ab×ef

Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.

ab×1=ab

ab÷1=ab

NUMEROS COMPLEJOS

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como C, siendo R el conjunto de los reales se cumple que RcC. Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

Girolamo Cardano – Los uso por primera vez

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.

Además los números complejos se utilizan en muchas ciencias o áreas tales como:

- matemáticas

- en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica)

-Y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones,

por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas estos números constituyen un cuerpo y en general se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas

CUERPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Los números complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C o más apropiadamente por el carácter ℂ .

Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales, por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

Tomando en cuenta que (a, 0) (0, 1) = (0, a), se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria definido como:

i = (0, 1)

De donde se deduce inmediatamente que:

i^2 = i . i = (0, 1) (0, 1) = (-1, 0) = -1

NUMEROS IRRACIONALES

Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas

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