NÚMEROS NATURALES

NÚMEROS NATURALES (N)

El conjunto numérico más simple es el conjunto de los números naturales que se denota “N”.

N = { 1, 2, 3, ,4 ,5, 6, 7,. . . }

El conjunto de los números naturales, se construye a partir de los cuatro postulados siguientes, llamados de Peano, por el matemático que los enunció en 1899.

1. El número 1 pertenece a N y es su primer elemento.

2. Para cada número n  N, existe otro número único, llamado el sucesor de n (n*=n+).

3. Si m* n* N y m*=n*, entonces m=n.

4. Cualquier subconjunto K de N, que tenga las propiedades:

• 1  K y es su primer elemento.

• Para K  K, K*  K.

El conjunto es el mismo N.

Para el conjunto de los números naturales, están definidas las operaciones: adición y multiplicación. Es la base para estructurar todos los conjuntos numéricos.

NÚMEROS ENTEROS ( Z )

Ante la necesidad de realizar la operación de sustracción, se define el conjunto de los números enteros a partir del conjunto de los números naturales.

z = { x | x= a-b  a, b  N }

Para el conjunto de los números enteros, están definidas las operaciones: adición, sustracción y multiplicación. La sustracción puede considerarse como un caso particular de la adición.

Cabe notar que el conjunto de los números naturales está contenido en el conjunto de los números enteros ( N  Z ).

Los números: -2, -1, 0, 8, 25, son enteros.

NÚMEROS RACIONALES ( Q )

Ante la necesidad de realizar la operación división, se define el conjunto de los números racionales a partir del conjunto de los números enteros.

Q = { x ! x=a ÷ b, donde a, b  Z  b  0 }

Los números racionales se caracterizan por tener parte decimal periódica o finita.

Nótese que el conjunto de los números racionales, tiene definidas las cuatro operaciones fundamentales: adición, sustracción, multiplicación y división. La sustracción y la división pueden considerarse como casos particulares de la adición y la multiplicación, respectivamente.

El conjunto de los números enteros está contenido en el conjunto de los números racionales ( Z  Q).

Son ejemplos de números racionales: -2, , -0.725, 0, 1.333, , 0.8.

NÚMEROS IRRACIONALES ( I )

El conjunto de los números irracionales es el conjunto formado por todos los números que tienen parte decimal infinita y no periódica. Esto es, los números irracionales son aquellos que no son racionales.

Los números: - ,-1.414213. . . . , , , son irracionales.

NÚMEROS REALES ( R )

El conjunto de los números reales, es el conjunto formado por los números racionales e irracionales ( R = Q  I ).

El conjunto de los números reales tiene definidas las cuatro operaciones fundamentales.

La adición y multiplicación de números reales se rigen por las siguientes propiedades:

Si a, b   R :

ADICIÓN

1. Cerradura a+b  R

2. Conmutativa a+b = b+a

3. Asociativa ( a+b )+c = a+( b+c )

4. Idéntico a+0 = a; 0  R

5. Inverso a+( -a ) = 0; -a  R

MULTIPLICACIÓN

1. Cerradura a•b  R

2. Conmutativa a•b = b•a

3. Asociativa ( a•b ) •c = a• ( b•c )

4. Idéntico a•1 = a;1  R

5. Inverso a• ( ) = 1;  R

6. Distributiva a•( b + c ) = a•b + a•c

Las operaciones sustracción y división de los números reales se pueden considerar como casos particulares de la adición y multiplicación, respectivamente; mediante la aplicación de las propiedades de los inversos.

Es importante mencionar, que puede establecerse una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de una recta. Esto es, a cada número real le corresponde sólo un punto de la recta y a cada punto de la recta le corresponda sólo un número real.

DESIGUALDADES

DESIGUALDAD: Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra

SIGNOS: Los signos de desigualdad son > mayor que, < y menor que.

Así 5 > 3, se lee 5 es mayor que 3

-4 < -2, se lee -4 es menor que -2.

MIEMBROS: Primer miembro, es la expresión que está a la izquierda y segundo miembro es el que está a la derecha del signo de desigualdad.

Así, en a + b > c - d, el primer miembro es a + b y el segundo c-d.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

1. Si a los miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varía.

a + c > b +c y a - c > b - c

Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro a otro.

a - b > c, a > b + c

2. Si lo dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía.

a c > b c >

Se pueden suprimir denominadores en una desigualdad, sin que varíe el signo de la desigualdad, porque ello equivale a multiplicar todos los términos de la desigualdad.

3. Si los miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varía.

a > b

a) - c ) a > b; - a c < - b c

b) a > b

) a > b;

Si cambia el signo a todos los términos, o sea a los 2 miembros de una desigualdad, el signo de la desigualdad varía porque equivale a multiplicar a los miembros de la desigualdad por - 1.

4. Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo.

Así, si a > b es evidente que b < a

5. Si se invierten los, dos miembros, la desigualdad cambia de signo.

Así, siendo a > b se tiene que

6. Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia.

5 > 3 ; 52 > 32 ; 25 > 9

7. Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia.

Así. - 3 > - 5 elevado al cubo (- 3 )3 > (- 5)3

- 27 > - 125.

8. Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar.

Así - 3 > - 5; (- 3 )2 = 9 y (- 5 )2 = 25 9 < 25

9. Si un miembro es positivo y otro es negativo y ambos se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia

3 > - 5 ; ( 3 )2 = 9 y ( - 5 )2 = 25; y queda 9 < 25 cambia.

10. Si los 2 miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raíz positiva, el signo de desigualdad no cambia.

Así a > b y n es positivo, tendremos a 1/ n , b 1/ n = .

11. Si los miembros de dos o más desigualdades del mismo signo, se suman o multiplican miembro a miembro, resulta una desigualdad del mismo signo.

Así, si a > b y c > d, tendremos: a + c > b + d y a c > b d.

12. Así 10 > 8 y 5 > 2 restando miembro a miembro

10 - 5 =5 y 8 - 2 = 6, luego queda 5 < 6 cambia de signo.

Si dividimos miembro por miembro 10 > 8 y 5 >4, tenemos y ;

luego queda la siguiente igualdad.

2 = 2

Si a - b es positivo, para a, b R, se dice que a es mayor que b, o que b es menor que a y se denota a > b ó b > a, respectivamente. Sí se da simultáneamente la posibilidad

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