Optimización De Funciones
occfzv27 de Marzo de 2014
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Objetivo:
Utilizar el cálculo diferencial y los criterios de la primera y segunda derivada, para resolver problemas de optimización
Procedimiento:
a. Demuestra que el
A = 2(b)(a) + 2(a)(h) + 2(b)(h)
A = 2(3x)(x) + 2xh + 2(3x)h
A = 6x² + 8xh
b. Si , obtén una expresión para en términos de .
6x² + 8xh = 200
200 - 6x²
h = —————
8x
100 - 3x²
h = —————
4x
c. Si , demuestra que el volumen .
100 - 3x²
h = —————
4x
4xh = 100 - 3x²
(3x)4xh 3x(100 - 3x²)
———— = ———————
4 4
300x - 9x³
3x²h = ——————
4
300x 9x³
V(x) = ——— - ——
4 4
9x³
V(x) = 75x - ——
4
d. Encuentra .
27x²
V'(x) = 75 - ———
4
e. Con los criterios de la primera y segunda derivada, demuestra que el punto es un punto máximo.
V'(x) = 0
27x²
75 - ——— = 0
4
75(4) 300 100 10²
x² = ——— = ——— = ——— = ———
27 27 9 9²
10²
x = √(———)
9²
10
x = ——
9
V''(x):
27x²
V'(x) = 75 - ———
4
54x
V ''(x) = - ———
4
27x
V ''(x) = - ———
2
27(10/9)
V ''(10/9) = - ————
2
V ''(10/9) = - 15 < 0 el valor x=10/9 es un Máximo
f. Encuentra el volumen máximo.
9x³
V(x) = 75x - ——
4
10 9(10)³
V(10/3) = 75(——) - ———
3 4(3)³
750 9000
V(10/3) = ——— - ———
3 108
27000 9000
V(10/3) = ———— - ———
108 108
18000
V(10/3)
...