PROGRAMACIÓN LINEAL (PL)

• PROGRAMACIÓN LINEAL (PL)

Cuando se habla de Programación Lineal (PL) se refiere a varias técnicas matemáticas empleadas para asignar, de forma óptima, los recursos limitados a distintas demandas, tareas, operaciones o productos que compiten entre ellos, es decir, la programación de actividades para obtener un resultado óptimo. La programación lineal ayuda a la toma de decisiones utilizando un modelo matemático para describir y formular el problema. El aspecto o adjetivo de lineal se refiere a que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales (Ecuaciones o Inecuaciones), mientras que la palabra programación es en esencia un sinónimo de planeación (no se refiere a la programación computacional).

La utilidad de esta técnica se incrementa mediante el uso y disponibilidad de programas de computadora altamente eficientes. De hecho la programación lineal, debido a su alto nivel de eficiencia computacional, es la base para el desarrollo de algoritmos de solución de otros tipos (más complejos) de modelos de investigación de operaciones, incluyendo la programación entera, no lineal y estocástica.

• Existen diversas aplicaciones y/o paquetes de software en el mercado que se pueden descargar de manera gratuita para la solución de problemas de programación lineal tales como:

• LINDO / LINGO
• MPL / CPLEX
• TORA
• EXCEL SOLVER

La Programación Lineal (PL) es una técnica de modelado matemático, diseñada para optimizar el empleo de recursos limitados. Se aplica exitosamente en el ejército, en la agricultura, la industria, los transportes, la economía, los sistemas de salud, el gobierno, la milicia e incluso en los sistemas conductuales y sociales, se podría así determinar que es apta para todo tipo de negocios. Es entonces un conjunto de técnicas racionales de análisis y de resolución de problemas que tiene por objeto ayudar a los responsables en las decisiones sobre asuntos en los que interviene un gran número de variables.

Un Modelo de Programación Lineal (MPL) considera que las variables de decisión tienen un comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como restricciones del problema. En este sentido, la Programación Lineal es una de las herramientas más utilizadas en la Investigación Operativa debido a que por su naturaleza se facilitan los cálculos y en general permite una buena aproximación de la realidad.

• Los Modelos Matemáticos se dividen básicamente en:

1. Modelos Determistas (MD): Se considera que los parámetros asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta
2. Modelos Estocásticos (ME): La totalidad o un subconjunto de los parámetros tienen una distribución de probabilidad asociada.

• CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL (MPL)
  

• Cualquier MPL se compone de tres elementos básicos:

1. Variables y Parámetros de Decisión: Las variables de decisión son las incógnitas (o decisiones) que deben determinarse resolviendo el modelo y los parámetros son los valores conocidos que relacionan las variables de decisión con las restricciones y función objetivo.

1. Función Objetivo (Meta): Define la medida de efectividad del sistema como una función matemática de las variables de decisión. La solución óptima será aquella que produzca el mejor valor de la función objetivo, sujeta a las restricciones. Con esta se busca optimizar, ya sea maximizar (beneficios) o minimizar (costos).

1. Restricciones (limitaciones que se deben satisfacer): Para tener en cuenta las limitaciones tecnológicas, económicas y otras del sistema, el modelo debe incluir restricciones (implícitas o explícitas) que restrinjan las variables de decisión a un rango de valores factibles.

• Para poder representar un problema de optimización de un Modelo de Programación Lineal (MPL) se requieren algunas suposiciones que a continuación se indican:

1. Proporcionalidad: La proporcionalidad requiere que la contribución de cada variable de decisión en la función objetivo, y sus requerimientos en las restricciones, sea directamente proporcional al valor de la variable.

1. Aditividad: La aditividad estipula que la contribución total de todas las variables en la función objetivo y sus requerimientos en las restricciones, sean la suma directa de las contribuciones o requerimientos individuales de cada variable.

1. Divisibilidad: Las variables de decisión en un MPL pueden tomar cualquier valor (cualquier número real) que satisfagan las restricciones.

1. Certidumbre: Se supone la certeza de los valores constantes.

• TIPOS DE SOLUCIONES

• Los programas lineales con dos variables suelen clasificarse atendiendo al tipo de solución que presentan. Éstos pueden ser:

• Factibles: Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las restricciones. Estas a su vez pueden ser: con solución única, óptima (que optimiza la función) con solución múltiple (si existe más de una solución) y con solución no acotada (cuando no existe límite para la función objetivo).
• No Factibles: Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones, es decir, cuando las restricciones son inconsistentes.

• VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA PL Y SUS MODELOS

• VENTAJAS:

• Permiten la toma de decisiones más convenientes conforme a los recursos disponibles y a los objetivos que se tratan de conseguir.
• Reducen el tiempo de búsqueda de una solución que se ajuste a los objetivos propuestos por la empresa.
• Permiten analizar una situación sin interferir en la operación que se realiza, ya que la programación lineal funciona como un espejo de lo que ocurre.
• Sirven para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real y buscar la solución más factible.
• Permiten a las empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización.
• Requieren menos tiempo y es menos caro que experimentar con el objeto o la situación real.
• Permiten una identificación rápida de las expectativas esperadas.
• Reducen los riesgos asociados con la experimentación real.

• DESVENTAJAS:

• Se pierde información (que puede ser relevante) del fenómeno que se está estudiando.
• Las diferentes interpretaciones de la información, pueden ocasionar resultados que estén lejos de la realidad.
• La recolección de datos puede llegar a ser muy costosa y complicada.
• Existe sensibilidad ante errores de medición; a veces pequeñas variaciones en los datos ocasionan que se tengan resultados opuestos.

• APLICACIONES TÍPICAS

• Planeación de operaciones y ventas para encontrar el programa de producción que tenga el costo mínimo.

• Análisis de la productividad en la producción o servicios, considerando el grado de eficiencia con el cual los establecimientos de servicios y de manufactura están utilizando sus recursos en comparación con la unidad que tiene mayor desempeño.

• Planeación de los productos, encontrando la mezcla óptima de productos, considerando que varios productos requieren diferentes recursos y tienen distintos costos.

• Rutas de los productos, encontrando el camino óptimo para fabricar un producto que debe ser procesado en secuencia.

• Solución de problemas de transporte o programación de vehículos (método de transporte), encontrando la ruta óptima para utilizar los recursos de transporte que involucren el movimiento de productos o materiales de varios puntos llamados origen hacia otros puntos llamados destinos.

• Control de procesos, minimizando el volumen de desperdicio de material generado en los procesos de producción, tales como cortes de acero, pieles o telas.

• Control de inventario, encontrando la combinación óptima de productos a mantener en existencia dentro de una red de almacenes para garantizar el abastecimiento de las demandas de las líneas de producción.

• Optimización de la combinación de cifras comerciales en una red lineal de distribución de agua, soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema de obras hidráulicas.

• Entre otras aplicaciones que se pueden mencionar están la programación de la distribución de embarques, los estudios para ubicar una planta entre distintas alternativas y los programas de manejo de materiales con un costo mínimo.

• EJEMPLOS DE APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Los modelos de PL son ampliamente utilizados como herramienta de apoyo a la toma de decisiones tanto por sus propiedades que facilitan su resolución, como así también su pertinencia a distintos problemas de naturaleza real. A continuación, se presentan algunos ejemplos con el objetivo de mostrar algunas aplicaciones típicas.

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