Parcial de calculo en varias variables

Calcule el volumen de las regiones del espacio limitadas por las superficies indicadas,

planteando una integral doble y efectuando la integración iterada. Grafique, desde varias

perspectivas si es necesario, tanto la región del espacio como la región en el plano que define la integral.

[pic 1]

SOLUCIÓN

Primero visualizamos la región en el plano XY para delimitar y hallar el volumen del sólido dado según las funciones.

[pic 2]El área de la función [pic 3]

[pic 4][pic 5]

El área de la función [pic 6]

La recta =  0

[pic 7]

[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

Figura1. Representación de la región de integración delimitada en el plano XY.

Con la figura 1 podemos determinar que es una región de tipo tres, esto quiere decir que

cumple la siguiente condición de que Y está limitada por números y X está limitado por

funciones:

[pic 12]

De tal manera que ahora se hallan los límites de cada eje. Para el eje X sus límites de

Integración son dos funciones ℎ (푦) ℎ (푦)y las cuales son:[pic 13]

[pic 14]

Para el eje Y sus límites de integración son dos constantes en este caso 0 y 2 (para hallar el[pic 15]

Número 2 se tiene que hallar la intersección entre

[pic 16]

Ahora se resuelve la ecuación con la fórmula cuadrática y se obtiene el siguiente resultado

[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

[pic 34]

De tal modo que se obtienen dos resultados y = 2y y y =− 10/3, sin embargo, al hacer la verificación el único valor que es válido es y = 2, por consiguiente, el punto de intersección entre ambas funciones se encuentra en (y = 2, x = 0).

Luego de hallar los límites de integración para cada eje de coordenadas se plantea la doble

integral primero con respecto a X y luego con respecto a Y y se calcula para obtener el

resultado final. Dicha integral es de la siguiente forma:

[pic 35]

De tal manera que el resultado al hacer la integral iterada es de aproximadamente3.83

...