Pendulo simple y sus aplicaciones

ESTUDIO DEL PÉNDULO SIMPLE Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES

RESUMEN[pic 1]

INTRODUCCIÓN

Elaborar un método a partir de un modelo matemático que permita diseñar y armar el montaje experimental para medir los parámetros y variables pertinentes, tal que el ajuste adecuado permita calcular de manera indirecta la aceleración provocada por la Tierra (gravedad) y la masa de la Tierra.

La importancia del problema es que el resultado implica la premisa: no hay experiencia sin modelo. Con el modelo podemos ver el sentido físico del fenómeno en el que quita la visión aristotélica que se tienen de un péndulo simple; a mayor masa del péndulo, el periodo de oscilación será más corto. Además, el modelo matemático sustenta el ajuste que se obtiene a partir del manejo y tratamiento sistemático que se le da a la ecuación de movimiento armónico simple del periodo de un péndulo simple.

El fenómeno que se estudia es conocido, pues, todos hemos visto una masa oscilar, como en el péndulo de Newton. Esta experiencia tendrá ciertas condiciones que permitirán su estudio a partir de ecuaciones del movimiento armónico simple.

Se estudió el movimiento de un péndulo simple, de masa m, longitud L y de ángulo de elevación β (fig. 1), a partir de las siguientes suposiciones:

• La cuerda que sostiene la masa es inextensible y de masa despreciable.
• La fricción entre la cuerda y la varilla; al igual que entre la cuerda y la masa es despreciable.
• La fuerza de resistencia del aire es depreciable en todo el movimiento.
• La fuerza que es ejercida en el péndulo es constante en magnitud; y su valor es dado por el peso que sostiene la cuerda.
• El movimiento del péndulo es periódico y cumple con el movimiento armónico simple (Serwey, R. y Jewett, J., 2005).
• El sistema en el que se estudia es inercial.
• En su posición inicial la velocidad inicial es 0.
• Para ángulos β≤10°, el seno del ángulo es igual al ángulo.

[pic 2]        [pic 3][pic 4][pic 5]

                     Fig.1. Elementos de                                 Fig.2. Sistema Serret-Frenet        un péndulo simple.                                         en un péndulo.

En consecuencia, al aplicar leyes de Newton y un sistema Serret-Frenet en la partícula (fig. 2), se obtiene que:

                                               (1)[pic 6]

Usando las siguientes ecuaciones (2), (3), (4) del movimiento circular:

                                         (2)[pic 7]

                                         (3)[pic 8]

                                   (4)[pic 9]

Se obtiene el modelo que relaciona el periodo y la longitud de la cuerda (5):

                                (5)[pic 10]

El parámetro “A” que nos relaciona la longitud y el periodo, contiene la aceleración provocada por el campo gravitatorio de la Tierra; por lo tanto:

                                                (6)[pic 11]

Aplicando la ley de gravitación universal; siendo la fuerza provocada la del peso de la masa del péndulo, se obtiene que:

                                                (7)[pic 12]

Siendo G la constante de gravitación universal,  la masa del planeta Tierra y r el radio medio de la Tierra (aproximadamente 6 371 000 m); se puede conseguir un valor aproximado de la masa del planeta.[pic 13]

Para calcular el error relativo de la masa del planeta experimental con respecto a la considerada como verdadera (M) al igual que con la gravedad, se usará la expresión (8):

                        (8)[pic 14]

A partir de lo descrito hasta el momento se pretende:

1. Diseñar un método que explique el proceso de medición indirecta de la gravedad y de la masa de la Tierra. Lo que demostraría que no existe experiencia científica sin modelo;
2. Obtener el parámetro que relaciona el periodo de un péndulo y su longitud a partir de un modelo matemático con sentido físico. Lo que demostraría que no existe experiencia científica sin modelo;
3. Conseguir un error relativo aceptable de la medición indirecta de la gravedad y de la masa de la Tierra.

El periodo de un péndulo (T) se da en segundos (s); la longitud del péndulo (L), en metros (m); el ángulo (β), en grados; la gravedad (g), en metros sobre segundos al cuadrado (m/s2); y la masa de la Tierra (M), en kilogramos (kg). Todas las unidades están dadas en el sistema internacional (SI).

Todo lo anterior implica que:

1. El periodo de un péndulo solo depende de la longitud del péndulo y la gravedad. El modelo muestra que el periodo no depende ni de la masa del péndulo; ni el ángulo de elevación, si y solo si, el ángulo es 10° o menor.
2. El movimiento que describe el péndulo simple es conocido como: movimiento armónico simple.
3. Del parámetro que relaciona el periodo y la longitud del péndulo se puede calcular de, manera indirecta, la aceleración gravitatoria.
4. Aplicando las leyes de Newton y los datos obtenidos en el estudio; se puede calcular de manera indirecta la masa de la Tierra.
5. El error relativo de la gravedad y de la masa de la Tierra serán aceptables si el montaje experimental y el ajuste son adecuados.

PROCEDIMIENTO

El montaje experimental usado se muestra en la figura 3. La masa se amarró a un hilo pabilo (masa despreciable) y el hilo a una varilla que está conectada a un soporte universal. El soporte universal se sujetó a la mesa con una prensa; para que el soporte no se mueva cuando la masa se ponga en movimiento. Además, como el ángulo de elevación β debe ser de 10° o menos; se usó una hoja polar para poder medir dicho ángulo.  

[pic 15]

Figura 1. Montaje experimental.

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