Planteo De Problemas

La vida diaria está relacionada de una u otra forma con la matemática. Es así que algunos problemas cotidianos pueden ser traducidos al lenguaje matemático, específicamente al algebraico, mediante una expresión numérica denominada ecuación.

Problema

Es toda cuestión en la que se pide calcular una o varias cantidades, que junto con otras, deben satisfacer las condiciones que especifica el enunciado. Cuando estas expresiones pueden expresarse mediante símbolos se trata de problemas algebraicos.

Identidad

Es una igualdad absoluta que se verifica para todo valor que asuman las variables involucradas. Ejemplo:

(m+n)2=m2+2mn+n2

(x+3)(x+2)=x2+5x+6

Ecuación

Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones algebraicas que tienen como mínimo una variable. Esta igualdad puede verificarse o no; y si se verifica, esto ocurre para un valor de su variable o un determinado conjunto de valores asignados a sus variables. A las variables que intervienen en una ecuación se les denomina incógnitas y los valores que satisfacen la igualdad se llama conjunto solución de una ecuación.

Ejemplo 1: 3x+12=42

Si, para x=8; 3(8)+12=36

Si, para x=9; 3(9)+12=39

Si, para x=10; 3(10)+12=42

Luego, el único valor que verifica la igualdad es x=10

C.S=

Ejemplo 2: (x-3)2(x+5)(x-7)8=0

C.S=

1.- Leer cuidadosamente el problema.

2.- Identificar las cantidades comprendidas en el problema (datos) y lo que se nos solicita que calculemos (incógnitas).

Por ejemplo, no es lo mismo:

->EL TRIPLE DE UN NÚMERO, AUMENTADO EN 8-> (3X+8) que

->EL TRIPLE, DE UN NÚMERO AUMENTADO EN 8-> 3(X+8)

3.- Planteo de la ecuación:

Ejemplo:

A) La suma de tres números consecutivos

es 21 x+(x+1)+(x+2)=21

B) El exceso de I sobre J es 50 I-J=50

C) El triple de un número aumentado en

120 3x+120

4.- Resolución de la ecuación.

Ejemplo:

X+(x+1)+(x+2)=21

3x=21-3

3x=18

x=6

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1.- Encontrar el triple de un número, si al restarle 2 al número inicial da como resultado 1.

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

2.- La suma de dos números es 88 y el mayor es el triple del menor disminuido en 12. Hallar el número menor.

a) 63 b) 30 c) 25 d) 35 e) 58

3.- ¿Cuánto hay que sumarle al número 15 para que el resultado sea cuádruplo del mismo número?

a) 4 b) 2 c) 3 d) 10 e) 5

4.- Mi tío Román quiere repartir su fortuna de la siguiente forma: la mitad a su esposa, un tercio a su hijo mayor y S/.250 al hijo menor. ¿Cuál es su fortuna?

a) 3500 b) 1500 c) 3000 d) 2500 e) 2000

5.- La diferencia de 2 números es 42. Si aumentamos a cada uno 8, el mayor resulta entonces el cuádruplo del menor. ¿Cuáles son estos números?

a)14,42 b)7,32 c)8,52 d)6,48 e)7, 78

6.- Juanito Pérez le dice a Luchito López: “Dame 5 de tus canicas y tendremos tanto el uno como el otro”. Ante lo cual Luchito López le responde: “Dame 10 de las tuyas y tendré dos veces más de las que te queden. ¿Cuántas canicas tiene Juanito Pérez?

a) 15 b) 20 c) 25 d) 40 e) N.A

7.- El cuádruplo, de un número disminuido en 5 es igual a 16. Entonces, el triple de dicho número disminuido en 7 es:

a) 40 b) 10 c) 17 d) 20 e) 6

8.- En una feria Lucía juega el “tiro al blanco” con la condición de que por cada tiro que acierte recibirá “a” soles; pero pagará “b” soles por cada uno de los tiros que falle. Después de “n” tiros ha recibido “c” soles. ¿Cuántos tiros dio en el blanco?

a) b) c)

d) e)

9.- Si subo una escalera de 4 en 4 escalones, doy 3 pasos más que subiendo de 5 en 5 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?

a) 70 b) 64 c) 60 d) 58 e) 52

10.- El martes gané el doble de lo que gané el lunes; el miércoles gané el doble que el martes; el jueves el doble de lo que gané el miércoles; el viernes S/.30 menos que el jueves y el sábado gané 10 soles más que el viernes. Si en los 6 días he ganado S/.911, ¿cuánto gané el miércoles?

a) 132 b) 152 c) 148 d) 124 e) 136

11.- 50 excede al doble de un número tanto como el triple de este número excede a 5. Hallar el doble del número disminuido en 9.

a) 4 b) 11 c) 13 d) 17 e) 22

12.- La suma de dos números es 146 y si el mayor se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo 5. Hallar la suma de las cifras de la diferencia de dichos números.

a) 4 b) 7 c) 5 d) 6 e) 8

13.- Un hombre deja $12100 a sus 3 hijos. Si el menor recibe 3 veces más de lo que recibe el mayor y éste el doble de lo que recibe el 2do, ¿cuánto recibe el menor?

a) 2200 b) 1100 c) 8800 d) 4400 e) 6600

14.- Hay tantas cabezas de conejos como patas de pavos. Si la diferencia de patas entre ambas clases de animales es 102, ¿cuántos animales deben comprarse para obtener el triple de animales?

a) 51 b) 102 c) 112 d) 153 e) 34

15.- Una niña sube una escalera con el curioso método de subir 5 escalones y bajar 4. Si en total subió 75 escalones, ¿cuántos escalones tiene la escalera?

a) 16 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21

16.- Fredy tiene S/.20000 y su novia S/.7500. Cada uno ahorró S/.500 anuales. ¿Dentro de cuántos años la fortuna de Fredy será el doble de lo que tenga su novia?

a) 13 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9

17.- ¿Cuál es el número cuyo cuádruplo excede en 8 al triple de 12?

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

18.- En una prueba de conocimientos que costa de 30 preguntas, cada respuesta correcta te da 4 puntos, la incorrecta te quita un punto y si la dejas en blanco, 0 puntos. Si Cecilia obtuvo 82 puntos y notó que por cada respuesta en blanco tenía tres correctas, ¿cuántas preguntas dejó en blanco?

a) 9 b) 5 c) 8 d) 7 e) N.A

19.- Entre A y B tienen 1500, si A tiene el triple de B más 500, ¿cuánto tiene A?

a) 1150 b) 250 c) 1250 d) 350 e) 300

20.- El exceso de 6 veces un número sobre 500 equivale al exceso de 500 sobre 4 veces el número. Calcular dicho número.

a) 86 b) 90 c) 100 d) 150 e) 220

21.- En una fiesta, la relación de mujeres y hombres es de 3 a 4. En un momento dado, se retiran 6 damas y llegan 3 hombres con lo que la relación es ahora de 3 a 5. Indique cuántas mujeres deben llegar para que a relación sea de 1 a 1.

a) 15 b) 18 c) 20 d) 21 e) 22

22.- Si compro 7 cuadernos y 3 lapiceros, gasto 44 soles. Pero si compro 7 lapiceros y 3 cuadernos, gasto 36 soles. ¿Cuánto cuesta 1 cuaderno y cuánto 1 lapicero?

a) 5,3 b) 5,2 c) 4,3 d) 6,5 e) N.A

23.- Anteayer tuve el triple de lo que tengo hoy y lo que tengo hoy es el doble de lo que tenía ayer, que fue 50 soles menos que anteayer. ¿Cuántos soles debo agregar a mi dinero para poder comprar un pantalón que cuesta 60 soles?

a) 46 b) 42 c) 40 d) 36 e) 33

24.- Me falta para tener 26 soles el doble de lo que me falta para tener 20 soles. ¿Cuánto tengo?

a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 16

25.- José tiene 3 clases de animales, de los cuales, todos son pavos menos 6, todos son loros menos 4 y todos son palomas menos 8. ¿Cuántos son los pavos?

a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) N.A

26.- ¿Cuál es el número que excede a 24 tanto como es excedido por 36?

a) 25 b) 27 c) 28 d) 30 e) 32

27.- Si un tercio de un bloque de helados más 4 kilos pesa igual que un bloque de helados completo, ¿cuánto (kg.) pesa el bloque de helados?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) N.A

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1.- Ocho veces la suma de un número con 8 es 1664. Hallar el número disminuido en 2 unidades.

a) 250 b) 200 c) 398 d) 370 e) 198

2.- Cuatro hermanos: R, S, A y K, suman su dinero obteniendo S/.20000. S tiene el doble que A. R tiene S/.1000 más que S. K tiene un tercio de la diferencia de lo que tienen R y A. ¿Cuánto tiene R?

a) 1000 b) 8000 c) 3500 d) 7000 e) 1500

3.- Hallar cuatro números consecutivos tales que la tercera parte de la suma de los mayores sea 10 unidades menos que la suma de los dos primeros. Dar como respuesta el mayor de los números.

a) 13 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9

4.- Los pesos de un padre y su hijo son entre sí como 19 es a 7. Los pesos de una madre y su hija son como 13 es a 7. Si los pesos de los varones exceden al de las damas en 30kg, halle la suma de cifras del resultado de sumar los cuatro pesos, si ninguno de ellos es mayor que 100.

a) 7 b) 5 c) 13 d) 12 e) 10

5.- En un examen, por cada respuesta correcta se gana 2 puntos, pero por cada error se pierde 1 punto. Después de haber contestado 50 preguntas, Fabiola obtiene 64 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente?

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