Raíces de Ecuaciones – Cálculo de los Valores de las Funciones

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ANÁLISIS Y DISEÑO DE PROCESOS

Curso: Métodos Numéricos para Ingeniería Código: IAO052 Sección: N° 1  Fecha: 25-10-21 Semestre: 2021 – II

Tema: Raíces de Ecuaciones – Cálculo de los Valores de las Funciones

Objetivo: Conocer y aplicar métodos eficientes que proporcionen los métodos numéricos para dar  respuesta a muchas funciones que no se pueden resolver de manera fácil.

Veamos

Sea ƒ (x) = ax2 + bx + c (*)

Para dar solución la ecuación en cuestión desde hace años se aprendió que:

X= , a los valores calculados con esta ecuación se les llama raíces y representan  [pic 1]

los valores de X que hacen a la ecuación (*) iguales a cero, es decir X es raíz  

si ƒ(X) = 0

 Raíz

 ● ● [pic 2]

 X1 X2  

Aunque la formula cuadrática es útil para resolver la ecuación, hay muchas funciones que no pueden ser  resueltas de manera tan fácil. Los métodos numéricos proporcionan herramientas eficientes para obtener  la respuesta.

Ejemplo: Si tenemos ƒ(x) = [pic 3]– X , Queremos hallar para que valor de X, la función ƒ(X) = 0 (es decir  la raíz) una alternativa es tanteo y error:

Primera Forma: Damos valores a X y de esta forma hallamos ƒ(X).

X ƒ(X)

X0 X1 X2 X3  :

ƒ(X0) ƒ(X1) ƒ(X2) ƒ(X3)  :

Decimos que XI es una raíz aproximada si ƒ(X2) ˃ 0 y ƒ(X1) ˂ 0 ó viceversa, es decir donde la función cambia  de signo. Método de tanteo.

Segunda Forma: Graficamos la función y observamos en qué punto se cruza con el eje X. La otra alternativa  es solucionarlo por métodos numéricos, siendo ésta la mejor para encontrar la solución aproximada.

MÉTODOS NUMÉRICOS

Iteración de Punto Fijo:

Fácil de programar y manejar.

Desventajas: es muy lento ya que si se toma un valor alejado se necesitan muchas iteraciones para llegar al  punto.

Algoritmo:  

1.- Hallar el valor de X0 (punto inicial). Esta se halla por tanteo y error, buscando el X donde la función  cambie de signo.

2.- Despejar de tal modo que X pueda quedar del lado izquierdo de la ecuación, es decir: X = g(Xi)

3.- La ecuación anterior se usa para obtener una nueva aproximación Xi + 1, expresada por la formula  iterativa: XI+1 = g (Xi)

4.- Criterio de detención: Ɛs = 0.5 x 102-n Si | Ɛa| = | *100% ≤ Ɛs n: # de c.s. [pic 4]

Si cumple entonces Xi+1 es raíz

Sino  

continuar con el paso 3

Nota: Criterio de convergencia: el método converge si: |g’ (X0)|˂ 1

Este criterio es de gran ayuda sobre todo en los casos donde hay diferentes maneras de despejar la X. Ejemplo 1: ƒ(X) = e- x – x

1.- Hallar X0 X ƒ(X) 

 0 1 cambió de signo, es decir que la raíz se  1 -0.632 encuentra en el intervalo de [ 0,1]

2.- Despeja X: X = e- x 

3.- Empezar el proceso iterativo Xi+1 = g (X0)

 Podemos tomar como valor inicial 0 ó 1

 X0=0 i: contador

Cuando: i = 0 X1 = g(X0) = e- X0 = 1

 i = 1 X2 = g(X1) = e- x1 = 0.367579  

 . .

 . .

  | Ɛa | = X2 - X1 * 100%

 X2

 Iteración Xi Ɛa (%)

0 0

1 1.0000 100

2 0.367879 171.8

3 0.692201 46.9

4 0.500473 38.3

5 0.606244 17.4

6 0.545396 11.2

7 0.579612 5.90

8 0.560115 3.48

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