Presentación del libro Aljebra

ntroducci´on

El prop´osito de este libro es introducir a un lector con conocimientos m´ınimos

de matem´aticas en el estudio de los n´umeros naturales

0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

Quiz´a esta afirmaci´on sorprenda al lector por dos posibles motivos: bien

porque crea que los n´umeros naturales son algo tan simple que dif´ıcilmente se

puede escribir un libro sobre ellos, bien porque crea que un libro as´ı no deber´ıa

llamarse ‘´Algebra’. El primer caso es f´acil de rectificar. Consideremos por

ejemplo la ecuaci´on

x2 + xy − 3y2 = 15.

¿Sabr´ıa decidir el lector si existen n´umeros naturales (x, y) que satisfagan

esta condici´on? Tenemos aqu´ı un problema de planteamiento elemental cuya

soluci´on no es nada f´acil. Si existiera un par as´ı podr´ıamos tener suerte y encontrarlo

por tanteo, pero si no lo hay necesitaremos alg´un tipo de razonamiento

que lo justifique, pues el no encontrar soluciones no significa que no las haya.

Si el problema fuera x2 + xy + 3y2 = 15 el asunto ser´ıa muy diferente, pues

podr´ıamos hacer 4(x2 +xy +3y2) = (2x+y)2 +11y2 y de aqu´ı sacar´ıamos una

cota a las posibles soluciones, con lo que un n´umero finito de comprobaciones

bastar´ıa para decidir si las hay. Aun as´ı habr´ıamos necesitado un peque˜no truco

que requerir´ıa un m´ınimo de perspicacia.

De nada sirve despejar la y en funci´on de x, o viceversa, pues entonces nos

encontraremos con el problema de determinar si una expresi´on con una ra´ız

cuadrada puede o no ser un n´umero natural, y no podremos ir mucho m´as lejos.

Sin duda el lector que cre´ıa dominar los n´umeros naturales reconocer´a ya la

precariedad de ese dominio. Sin embargo esta situaci´on suele causar rechazo al

matem´atico acostumbrado a otra clase de problemas m´as . . . ¿abstractos? La

reacci´on natural es: ¿pero qu´e importa si existen o no soluciones naturales? Una

pregunta interesante podr´ıa ser si existen funciones reales continuas no derivables

en ning´un punto, por ejemplo, porque una soluci´on negativa consolidar´ıa

nuestro conocimiento de la continuidad y la derivabilidad, mientras que una

soluci´on positiva ser´ıa (y de hecho es) algo verdaderamente curioso e intrigante.

Sin embargo, tanto si alguien encuentra una soluci´on a esa ecuaci´on como si

prueba que no las hay, lo cierto es que nos quedamos igual, obtenemos un dato

irrelevante.

Esta objeci´on entronca con la posible sorpresa de que un libro que promete

abordar estas banalidades tenga la osad´ıa de titularse ‘´Algebra’. El reproche

estar´ıa justificado si lo ´unico que fu´eramos a ver en este libro fuera una colecci

´on de recetas o, a´un peor, de trucos para resolver ecuaciones como la de

antes. Tambi´en en tal caso ser´ıa razonable opinar que el contenido del libro

ser´ıa irrelevante, al menos seg´un los gustos matem´aticos al uso. Sin embargo,

el inter´es de un problema puede no estar en la pregunta sino en la respuesta.

Parafraseamos a Gauss al decir que la aridez de esta clase de problemas oculta

una disciplina que merece el t´ıtulo de Reina de las Matem´aticas. ¿Por qu´e un

matem´atico que destac´o tan prodigiosamente en an´alisis, geometr´ıa diferencial,

f´ısica y estad´ıstica, entre otras partes de la matem´atica, antepon´ıa la teor´ıa de

n´umeros a todas ellas? Sencillamente porque al abordar problemas como el que

hemos propuesto se encontr´o con una teor´ıa mucho m´as rica, sutil y abstracta

que cualquier otra de su ´epoca.

Ciertamente, la teor´ıa

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