Primer Teorema De Induccion

Primer Teorema de la Induccion

Teorema 1.1.1. Primer Teorema de la Induccion Matematica. Consideremos la

proposicion P(n), que contiene la variable n ∈ N. Si la proposicion P(n) es tal que

a) Se cumple que P(1) es verdadera.

b) Asumiendo que P(k) es verdadera, se verica que P(k + 1) es verdadera,

entonces, P(n) se cumple para todo natural.

Demostracion. Consideremos el conjunto S formado por todos aquellos naturales que satisfacen

la proposicion, es decir, sea S = {n ∈ N= P(n) es verdedera }, debemos demostrar

que P(n) se satisface para todo natural, es decir, debemos demostrar que S = N.

Como P(1) es verdadero entonces 1 ∈ S, ademas, por hipotesis se cumple que P(k)V ⇒

P(k + 1)V ; esto indica que k ∈ S ⇒ (k + 1) ∈ S.

Dado que el conjunto S satisface el quinto axioma de Peano concluimos que S = N y

entonces la proposicion se cumple en N.

Observacion 1.1.2.

1) Podemos anotar, en forma mas breve, como sigue

{

a) P(1)V

b) P(k)V ⇒ P(k + 1)V

}

⇒ P(n) es V; ∀ n ∈ N

2) Tambien se conoce a esta proposicion como \Primer principio de la Induccion Matem

atica".

3) En el Primer Principio de la Induccion podra ocurrir que en la parte a) no se

verique P(1) si no que para P(n0), n0 > 1 entonces, si se cumple b) para todo

n ≥ n0 concluimos que la proposicion se cumple para todo n ≥ n0.

Ejemplo 1.1.1. Demuestre que

1

1 · 2

+

1

2 · 3

+

1

3 · 4

+ · · · +

1

n · (n + 1)

=

n

n + 1

se cumple para todo natural.

Solucion. Sea

P(n) =

1

1 · 2

+

1

2 · 3

+

1

3 · 4

+ · · · +

1

n · (n + 1)

=

n

n + 1

:

Debemos demostrar que a) P(1) es verdadera, y que b) P(k) V ⇒ P(k + 1) V .

Antes ( de realizar la demostracion debemos notar que en ella esta involucrada la sucesion

1

n
(n+1)

)

n2N

y que el hecho de que P(k) sea verdadera signica que la suma de los k

primeros terminos de la sucesion es k

k+1.

HERALDO GONZALEZ SERRANO 3

a) P(1) es verdadero ya que 1

1
2 = 1

1+1.

P(2) es verdadero si se cumple 1

1
2 + 1

2
3 = 2

2+1.

Como el lado izquierdo de la ultima expresion tiene valor 2

3 tanto como el lado

derecho, concluimos que P(2) es verdadero.

b) Si P(k) es verdadero, es decir, si

1

1 · 2

+

1

2 · 3

+

1

3 · 4

+ · · · +

1

k · (k + 1)

=

k

k + 1

;

debemos demostrar que P(k + 1) es verdadero, es decir, debemos demostrar que

1

1 · 2

+

1

2 · 3

+

1

3

...