Probabilidad Y Azar

Año académico: 2006-2007 I.E.S. “La Ería”

Departamento Didáctico de Matemáticas

Nivel: BACH 1º CCSS

Complementos teórico-prácticos. Tema: Combinatoria.

Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y pro-fesor agregado de Matemáticas en E.S.

Combinatoria.

Introducción a la combinatoria.

 Ideas intuitivas previas:

 Supuesto_1: dado de quinielas futbolísticas, caras 1 x 2 , son los posibles signos que pueden aparecer al lanzar el dado una vez, si lo lanzamos varias veces, ¿Qué combi¬naciones de signos podríamos obtener?.

Para el caso de tres lanzamientos tendríamos:

Lo mismo para la x y el 2.

Este tipo de estructura es conocido como diagrama de árbol, cada resultado posible del primer lanzamiento ocu¬pa un vértice o punto de partida de las ramas de enlace con los resultados posibles del segundo lanzamiento, y así sucesivamente.

Para formar los pares, ternas, cuartetos, etc. …, finales, tras dos, tres, cuatro, etc. …, lanzamientos, debemos seguir todas las ramas a partir del primer vértice hasta el último, aquel del que ya no salen más ramas, y anotar ordenadamente los distintos vértices que hemos encontrando por el camino.

En nuestro caso, suponiendo que salió un 1 (uno) en el primer lanzamiento, en el segun-do podrían salir 1, x ó 2, los cuales forman los vértices del segundo lanzamiento, y así sucesivamente.

Para el supuesto de que primero hubiese salido un 2, tendríamos el diagrama:

Y por último, para el supuesto de que hubiera salido la x:

Es decir, tendríamos 9 ternas para cada uno de los tres supuestos, en total 27 ternas po-sibles que se diferencian en los elementos que las componen o en el orden en que éstos figuran dentro de la misma.

Visto de otro modo, tendríamos 3 posibles casos diferentes en el primer lanzamiento, 3 distintos, para cada uno de los primeros, en el segundo, y 3 distintos, para cada uno de éstos, en el tercero, en total .

 Supuesto_2: en el turno de noche de una planta de un hospital son necesarias dos enfermeras. En plantilla hay tres Ana, Teresa y Carmen, ¿De cuántas mane-ras diferentes pueden hacer las guardias?.

Solo hay tres posibles turnos distintos. ¿Por qué no ha funcionado en este caso el dia-grama de árbol?. La razón es muy simple, en este caso el orden no tiene importancia, es lo mismo el turno de Ana y Carmen que el de Carmen y Ana. En este caso tendríamos 3 posibilidades inicialmente y 2 en el segundo paso, luego serían casos posibles, pero como cada caso se repite dos veces, el total de casos distintos es .

 Principio de la multiplicación: si en el proceso de formación de las muestras se necesitan k-etapas, cada una de las cuales se puede realizar de maneras distintas, respectivamente, el número total de muestras se obtiene del producto de los números .

 Una muestra es una colección de elementos de un conjunto dado. Puede estar constituida por parte de los elementos dados o por todo el conjunto. Puede ser ordenada o no, según influya el orden de los elementos en la formación de la muestra o no.

 Tres atletas, Pedro, Ana y Luis pueden llegar a la meta de modos distintos, ya que el primero será el ganador (oro) y los otros dos se deberán contentar con la plata y el bronce. Luego el orden sí es importante en este caso, pero si se tratase de participar en distintas competiciones y solo se presentan ellos el orden para acudir a las mismas no importa, siempre serán los mismos tres.

 Combinatoria: es la rama de las Matemáticas que nos permite realizar recuen-tos, complicados de llevar a cabo, de un modo sencillo. Son nuevas técnicas de con-tar y calcular posibilidades de agrupamientos o de distribuciones de elementos en cajas, colores, formas, etc. …

 Problemas combinatorios: la mayoría de los problemas de combinatoria se suelen resumir en dos tipos básicos, la selección de muestras y la colocación de elementos en cajas o distribución de elementos.

 Selección de muestras: se trata de calcular de cuántas formas se puede ele-gir una muestra de una colección de elementos, para lo cual siempre hay que tener claro cuál es la verdadera situación del caso, así:

 ¿Objetos iguales o distintos?.

 ¿Se pueden repetir o no dentro de la muestra?.

 ¿Debe tenerse en cuenta o no el orden en que se seleccionan?.

 Colocación de objetos en cajas: se trata de calcular de cuántas formas se pueden colocar un cierto número de elementos en un cierto número de receptá-culos, compartimentos o clasificadores, para lo cual deberemos tener presente las distintas circunstancias que se pueden dar, así:

 ¿Los objetos son iguales o distintos?.

 ¿Las cajas son iguales o distintas?.

 ¿Se puede colocar o no más de un objeto en cada caja?.

 ¿Se pueden dejar o no cajas vacías?.

 ¿Se debe considerar o no el orden de colocación de los objetos dentro de las cajas o de las mismas cajas?.

 Herramientas de recuento:

 Muestras ordenadas: el orden es decisivo a la hora de diferenciar una muestra de otra.

 Variaciones con repetición: se definen variaciones con repetición de n ele-mentos de orden k, o tomados de k en k, al conjunto de agrupaciones de k elementos que se pueden formar con los n elementos iniciales de modo que cada elemento se puede repetir hasta k-veces y unas agrupaciones se dife-ren¬cien de otras en los elementos que las configuran o en el orden en el que és¬tos se encuentran dentro de ella.

• Expresión:

• Ejemplo: ¿Cuántos números de tres dígitos tiene todas sus cifras pares?.

 Cifras pares 0, 2, 4, 6 y 8, en total cinco, y las tomamos de 3 en 3, luego,

 Variaciones ordinarias o sin repetición: se definen variaciones ordinarias de n elementos de orden k, o tomados de k en k, al conjunto de agrupaciones de k elementos que se pueden formar con los n elementos iniciales de modo que no se repita ninguno y unas agrupaciones se dife¬ren¬cien de otras en los elementos que las configuran o en el orden en el que és¬tos se encuen¬tran dentro de ella.

• Expresión_1:

• Expresión_2: donde n! significa factorial del número n.

• Ejemplo: con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5, ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar?.



 Factorial de un número: se denomina factorial de un número n y se repre-senta por n! al producto de los n-factores

• Propiedades importantes:









• De donde podemos ver que efectivamente

 Permutaciones: se definen permutaciones de n elementos al conjunto de agrupaciones de esos n elementos que se pueden formar con todos ellos tomados de n en n y de modo que no se pueda repetir ninguno, se dife-rencian unas de otras en el orden que ocupan los elementos dentro de la agrupación.

• Expresión: coinciden con las variaciones ordinarias de n elementos tomados de n en n.

• Ejemplo: ¿De cuantas maneras diferentes se pueden poner en fila cinco alumnos para hacerse una fotografía?.



 Permutaciones con repetición: si en una permutación de n elementos hay uno o más que se repiten un número dado de veces, por ejemplo, los elemen-tos a, b y c se repiten a, b y c veces respectivamente, entonces el número de permutaciones que se obtiene será

• Ejemplo: en una carrera de coches intervinieron nueve coches, de los cuales 3 eran españoles, 2 franceses, 3 alemanes y 1 italiano. ¿De cuántas formas distintas se pueden clasificar por pilotos?. ¿Y por nacionalidades?

 Para la primera pregunta está claro que hay 9 pilotos que pueden en-trar en cualquier orden, luego . En el segundo su-puesto basta que el primero sea español, cualquiera de los tres, el se-gundo alemán, cualquiera de los tres, y el tercero italiano que todas las agrupaciones serían iguales, por lo que en este caso solo cuenta la nacionalidad para diferenciar el agrupamiento y no el nombre del pi-loto, así habrá

 Permutaciones circulares: cuando en las distribuciones de k elementos ponemos éstos entorno a una mesa, siempre habrá uno que haga de referen¬cia para distinguir los elementos situados a su derecha e izquierda, si se tra¬tara de un banco solo habría un orden, de izquierda a derecha o viceversa, e intervendrían todos. Por ese motivo en éstos casos debemos descontar un elemento en la permu¬tación, ya que éste permanecerá necesariamente fijo como referente del orde¬namiento de los demás.

• Expresión:

• Ejemplo: la mesa de invitados en una boda está formada por ocho servi-cios, ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar los invitados ?.



 Muestras no ordenadas: el orden no influye para

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