Probabilidad

TERCERA UNIDAD. PORTAFOLIO.

Distribución De Probabilidad Discreta.

Una variable aleatoria es una función que asocia un numero real con cada elemento del espacio muestral.

Por ejemplo:

Se sacan 2 bolas de manera sucesiva sin reemplazo de una urna que contiene 4 rojas y tres negra. Los posibles resultados de la variable aleatoria x, donde x es el número de bolas rojas es:

Resultado:

S={RR, RN, NR, NN}

F(0)= (4C0)(3C2) / (7C2) = 0.1428

F(1)= (4C1)(3C1) / (7C2) = 0.5714

F(2)= (4C2)(3C0) / (7C2) = 0.2857

Distribución de probabilidad:

x

0

1

2

F(x)

0.1428

0.5714

0.2857

Histograma:

PROBLEMA. Tarea1.

Un embarque de 7 tv contiene 2 tv defectuosas. Un hotel realiza una compra al azar de las 7 tv compra 3 si X= unidades defectuosas que compra el hotel.

a) Encuentre la distribución de la probabilidad de X.

b) Exprese los resultados de forma grafica con un histograma.

c) Obtén la función de probabilidad acumulada.

d) Con el inciso anterior calcule la probabilidad de 1 <= X >=3.

Resultados:

a) F(0)= (2C0)(5C3) / (7C3) = 0.2857

F(1)= (2C1)(2C2) / (7C3) = 0.5714

F(2)= (2C2)(5C1) / (7C3) = 0.1428

Distribución de probabilidad:

x

0

1

2

F(x)

0.2857

0.5714

0.1428

b) Histograma:

c) Probabilidad acumulada:

x

0

1

2

F(x)

0.2857

0.8567

1

d) p (1<= x <= 3)= f(3)- f(0)= 1 – 0.2857 = 0.7143

Distribución Binomial. Tarea 2.

Propiedades:

1.- El experimento consiste en n ensayos que se repiten.

2.- Cada ensayo produce un resultado que se puede clasificar como éxito o fracaso.

3.- La probabilidad de un éxito que se denota con p permanece constante de un ensayo a otro.

4.- Los ensayos que se repiten son independientes.

Formula: nCx (p)^x (q)^n-x

Desviación estándar = raíz cuadrada de (n)(p)(q)

Varianza = (n)(p)(q)

Donde:

n= número de veces q se repite el experimento.

x= valor de la variable discreta.

p= probabilidad de éxito.

q= probabilidad de fracaso. (1 – p)

PROBLEMAS. Tarea 2.

5.4 En cierto distrito de la cuidad la necesidad de dinero para comprar drogas se establece como la razón del 75% de todos los robos. Encuentre la probabilidad de que los siguientes 5 casos de robo que se reporten en este distrito,

a) Exactamente 2 resulten de la necesidad de dinero para comprar drogas.

b) Al menos 3 resulten de la necesidad de dinero para comprar drogas.

Resultados:

a) (5C2) (0.75)2 (0.25)3 = 0.087

b) p(x>=3)= 1 – F(2) = 1 – 0.1105 = 0.8895

Donde:

f(2)= acumulada de 2 (se saca de la tabla de sumas de probabilidad binomial, paginas 742- 747 del libro de probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias de Walpole, 8ª edicion)

5.6 De acuerdo con una investigación de la administrative management society, la mitad de las compañías estadounidenses dan a sus empleados 4 semanas de vacaciones después de 15 años de servicio en la compañía. Encuentre la probabilidad de que entre 6 compañías encuestadas al azar, el número que da a sus empleados después de 4 semanas después de 15 años de servicio es

a) Cualquiera entre 2 y 5.

b) Menor que 3.

Resultados:

a) p (2<=x<=5) = p(x<=5) – p(<=1) = 0.9844 – 0.1094 = 0.8575

b) p (x<3) = p(x<=2) = 0.3438

5.8 De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la universidad de Massachusetts, aproximadamente 60% de los consumidores de Valium en el estado de Massachusetts tomaron Valium por primera vez a causa de problemas psicológicos. Encuentre la probabilidad de que éntrelos siguientes 8 consumidores entrevistados de este estado

a) Exactamente 3 comenzaran a consumir Valium por problemas psicológicos.

b) Al menos 5 empezaran a consumir Valium por problemas que no fueran psicológicos.

Resultados:

a) p(x=3) = p(x<=3) – p(x<=2) = 0.1737 – 0.0498 = 0.1239

b) p(x>=5) = 1 – p(x<=4) = 1- 0.4059 = 0.5941

5.9 Al probar cierta clase de neumático para camión en un terreno accidentado, se encuentra que 25% de los camiones no completaban la prueba de recorrido sin ponchaduras. De los siguientes 4 camiones probados, encuentre la probabilidad de que

a) De 3 a 6 tengan ponchaduras.

b) Menos de 4 tengan ponchaduras.

c) Más de 5 tengan ponchaduras.

Resultados:

a) p(3<= x <=6) = f(6) – f(2) = 0.9434 – 0.2361 = 0.7073

b) p(x<4) = p(x<=3) = f(3) = 0.4613

c) p(x>5) = 1 – f(5) = 0.1484

5.10 Según un reportaje publicado en la revista Parade, una encuesta a nivel nacional de la universidad de Michigan a estudiantes universitarios de último año revela que casi 70% desaprueban el consumo de mariguana. Si se seleccionan 12 estudiantes al azar y se les pide su opinión, encuentre la probabilidad de que el número de los que desaprueben fumar mariguana sea

a) Cualquier valor entre 7 y 9.

b) A lo más 5.

c) No menos de 8.

Resultados:

a) p(7<=x<=9) = p(x<=9) – p(x<=6) = 0.7472 – 0.1178 = 0.6294

b) p(x<=5) = 0.0386

c) p(x>=8) = 1 – p(x<=7) = 1 – 0.2763 = 0.7237

Bibliografía: Walpol, Ronald E.;probabilidad y estadistica para ingenieria y ciencias; octava edición; Pearson Prentice Hall; México, 2007.

PROBLEMAS. Tarea 3.

2.- Se toma una muestra de 5 elementos de una población grande en la cual 10% de los elementos esta defectuoso.

a) Determine la probabilidad de que ninguno de los elementos de la muestra este defectuoso.

b) Probabilidad de que solo uno de ellos este defectuoso.

Resultados:

a) 5C0 (.9)0(.1)5 = 0.00001

b) 5C1 (.1)1(.9)4 = 0.328

3.- se lanza al aire una moneda 10 veces.

a) Determine la media del número de caras obtenidas.

b) Determine la varianza del número de caras obtenidas.

c) Determine la desviación estándar del número de caras obtenidas.

Resultados:

a) media = 10(0.5) = 5

b) varianza = 10(0.5)(1 – 0.5) = 2.5

c) desviación estándar = raíz cuadrada (5) (0.5)(1 – 0.5) = 1.58

4.- En un cargamento grande de llantas de automóvil, 5% tienen cierta imperfección. Se elige aleatoriamente 5 llantas para instalarlas en un automóvil.

a) Probabilidad de que ninguna de las llantas tenga imperfección.

b) Probabilidad de que solo una tenga imperfección.

Resultados:

a) (5C0)(0.95)0(0.05)5 = 0.0000003125

b) (5C1)(0.05)1(0.95)4 = 0.2036

9.- De los pernos manufacturados por cierta aplicación, 90% satisface la longitud especificada y se puede utilizar inmediatamente, 6% está demasiado largo y solo se puede usar después de que sea cortado, y 4% está demasiado corto y debe desecharse.

a) Determine la probabilidad de que un perno seleccionado aleatoriamente se puede utilizar.

b) Determine la probabilidad de que menos de 9 de una muestra de 10 pernos se pueda utilizar.

...