Probabilidad

INTRODUCCIÓN

En este taller encuentra ejercicios donde se aplican el concepto de probabilidad de un evento, así mismo las reglas aditivas que hacen referencia a la probabilidad de la unión de dos o más eventos, a su complemento. Para el desarrollo de algunos ejercicios en conveniente hacer uso de diagramas de Venn los cuales facilitan la comprensión y de desarrollo de los mismos.

OBJETIVOS

 Conceptualizar la definición de probabilidad de un evento

 Definir los eventos a considerar en cada caso

 Identificar en cada problema el tipo de probabilidad pedida.

 Utilizar las reglas aditivas para resolver problemas

 Construir diagramas de Venn adecuados y dar respuestas acertadas a las preguntas formuladas

METODOLOGÍA

En esta guía los estudiantes:

• Leen los conceptos, estudian los ejemplos y resuelven los ejercicios planteados.

• Asisten a las asesorías del tutor programadas por la Universidad.

• Plantean sus inquietudes al tutor a través de Chats, correo electrónico, clases virtuales.

• Reciben orientaciones del tutor de manera presencial.

CONCEPTOS BÁSICOS

2.4 Probabilidad de un evento

En lo que resta del capitulo consideraremos solo experimentos de los cuales resulten un número finito de observaciones. La probabilidad de ocurrencia de un evento de dicho espacio muestral se evalúa por medio de un conjunto de números reales denominados pesos o probabilidades que están el intervalo cerrado [0,1]. Para cada punto en el espacio muestral asignamos una probabilidad tal que la suma total sea 1. Una probabilidad cercana a 1 indica que el evento es bastante probable , mientras que una probabilidad cercana a cero, nos dice que el evento es poco probable. Si se sabe que un evento no ocurrirá su probabilidad es cero. En algunos experimentos como el lanzamiento de una moneda, la extracción de una carta de una baraja ordinaria, el lanzamiento de un dado dos veces, todos los puntos muestrales tienen la misma probabilidad.

Definición 1: Sea S un espacio muestral y A un evento de S, la probabilidad de A denotada P(A) es la suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales contenidos en A. Así

0<P(A)< 1 , P(Ø)=0 y P(S )=1

Ejemplo 1. Se lanza tres veces una moneda, cuál es la probabilidad de que ocurra al menos dos sellos?

Para este experimento nuestro espacio muestral tiene 8 elementos igualmente probables que son

S={ccc,ccs,csc,css,scc,scs,ssc,sss}

Si A es el evento de que ocurra al menos dos sellos entonces A={css,scs,ssc,sss}

Así P(A)=4/8 =1/2

Teorema 1: Si un experimento puede tener como resultado cualquiera de N diferentes resultados igualmente probables, y si n de esos resultados corresponden al evento A, entonces la probabilidad de A es

P(A)=n/N

Ejemplo 2. Se lanza un dado dos veces, encuentre la probabilidad de obtener

a). un total de ocho

b). a lo más un total de cinco

Usando la regla de la multiplicación S tiene 6x6=36 elementos de esta forma

S={(1,1),(1,2),...,(1,6),...,(6,1),(6,2),...,(6,6)}

a). Sea A el evento de obtener un total de ocho, asi A={(3,5),(5,3),(4,4),(6,2),(2,6)}, luego P(A)=5/36

b). Sea B el evento de obtener a lo más un total de cinco,

B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)}

P(B)=10/36

Ejemplo 3. En una mano de póker que consiste en 5 cartas, encuentre la probabilidad de tener: cuatro cartas de corazones y una de trébol

Una baraja de poker consta de 52 cartas, distribuidas en 4 pintas, diamantes, tréboles, picas y corazones, cada una con 13 cartas enumerados del 1 al 10 y la J,Q,K. El uno es conocido como as.

Para este caso el espacio muestral tiene tantos elementos como grupos de cinco elementos se pueden hacer de un total de 52. Es decir 52 combinatoria 5 que es 52!/(5!x47!)=2.598.960 las formas de obtener cuatro cartas de corazones de las trece que hay es 13 combinatoria 4, es decir,

13!/(4!x9!)=13x11x5=715

las formas de obtener 1 carta de trébol de las trece que hay es 13.

Así las formas de obtener cuatro cartas de corazones y una de trébol es 715

y la probabilidad que buscamos es 13*715/2.598.960=9295/2.598.960

2.5 Reglas aditivas

La regla aditiva se usa para determinar la probabilidad de la unión de dos o más eventos.

Teorema 2. Si A y B son dos eventos, entonces

P(AUB)=P(A)+P(B)−P(AnB)

Corolario 1. Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces

P(AUB)=P(A)+P(B)

Corolario 2. Si A1,A2,...,Ak, son mutuamente excluyentes entonces,

P(A1UA2U...UAk )=P(A)+P(A2)+...+P(Ak)

Teorema 3. Si A, B,C son tres eventos, entonces,

P(AUBUC )=P(A)+P(B)+P(C)−P(AnB)−P( AnC)−P(BnC )+P(AnBnC )

Teorema 4. Para todo evento A,

P(A)+P( A' )=1

Ejemplo 1. En una clase de 100 graduados

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