Probabilidad

1.2.7 Histograma de frecuencia relativa.

1.3 Medidas de tendencia central.

Al describir grupos de observaciones, con frecuencia se desea describir el grupo con un solo número. Para tal fin, desde luego, no se usará el valor mas elevado ni el valor mas pequeño como único representante, ya que solo representan los extremos. mas bien que valores típicos. Entonces sería mas adecuado buscar un valor central.

Las medidas que describen un valor típico en un grupo de observaciones suelen llamarse medidas de tendencia central..Es importante tener en cuenta que estas medidas se aplican a grupos mas bien que a individuos. un promedio es una característica de grupo, no individual.

Medidas de Tendencia Central

Media aritmética Suma de los valores de una serie de medidas respecto del número de valores existentes. Su cálculo equivale a  xi/n, siendo n el tamaño de la muestra y xi cada uno de los valores.

Mediana Valor que queda en el centro tras la división de una serie de valores ordenados en dos partes iguales, una superior y una inferior. Para determinarla debe seguirse los siguientes pasos:

-ordenar los datos de menor a mayor

-si el número de datos es impar corresponde al que queda en el centro

-si el número de datos es par corresponde al valor medio de los dos datos centrales

Moda Valor que se presenta con más frecuencia en una serie de mediciones.

1.3.1 Media aritmética, geométrica y ponderada.

Media aritmética

La medida de tendencia central más obvia que se puede elegir, es el simple promedio de las observaciones del grupo, es decir el valor obtenido sumando las observaciones y dividiendo esta suma por el número de observaciones que hay en el grupo.

En realidad hay muchas clases de promedios y ésta se la llama media aritmética para denotar la suma de un grupo de observaciones dividida por su número.

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Media aritmética

Llamando xl, ..., xk a los datos distintos de un carácter en estudio, o las marcas de clase de los intervalos en los que se han agrupado dichos datos, y ni,..., nk a las correspondientes frecuencias absolutas de dichos valores o marcas de clase, llamaremos media aritmética de la distribución de frecuencias a

en donde n es la frecuencia total.

Ejemplo 1:

La media aritmética de las veinticinco familias encuestadas será:

es decir, las familias encuestadas tienen un número medio de hijos de 1'68.

Ejemplo 2:

Se midieron los niveles de colinesterasa en un recuento de eritrocitos en μmol/min/ml de 34 agricultores expuestos a insecticidas agrícolas, obteniéndose los siguientes datos:

Individuo Nivel Individuo Nivel Individuo Nivel

1 10,6 13 12,2 25 11,8

2 12,5 14 10,8 26 12,7

3 11,1 15 16,5 27 11,4

4 9,2 16 15,0 28 9,3

5 11,5 17 10,3 29 8,6

6 9,9 18 12,4 30 8,5

7 11,9 19 9,1 31 10,1

8 11,6 20 7,8 32 12,4

9 14,9 21 11,3 33 11,1

10 12,5 22 12,3 34 10,2

11 12,5 23 9,7

12 12,3 24 12,0

La distribución de frecuencias las marcas de clase será:

Intervalo Ii 7'5-9 9-10'5 10'5-12 12-13'5 13'5-15 15-16'5

Marca de Clase xi 8'25 9'75 11'25 12'75 14'25 15'75

Frecuencia ni 3 8 10 10 1 2 ?ni=25

la cual proporciona una media aritmética de

MEDIA ARITMETICA.

Es la medida de tendencia central más utilizada en estadística y es la que se conoce como el promedio de las observaciones, sin embargo, debido a la confusión que hay con el término promedio.

La media es el valor correspondiente a una línea imaginaria que compensa los valores que se exceden de la media y los que quedan por debajo de ésta; de esta manera, la media es mayor que el valor más pequeño, y menor que el valor más grande.

Cuando se dispone de datos no agrupados, la media se puede calcular con precisión al sumar todos los valores observados y dividir el total entre el número de observaciones. Si las utilidades anuales de cinco empresas (en millones de dólares) fueron 2, 2, 4, 7 y 15, la media aritmética sería igual a:

2 + 2 + 4 + 7 + 15 30

-------------------- = ---- = 6

5 5

Este número (6) sería la media poblacional si el sistema de interés contuviera sólo cinco empresas, por ejemplo, un sistema de interés son todos los fabricantes de aviones en los Estados Unidos o todos los fabricantes de cerveza en Detroit. Sería una media muestral si se refiere sólo a cinco empresas de entre un grupo de interés mucho mayor, como cinco entre docenas de fabricantes de aviones en el mundo o cinco entre cientos de cervecerías en los Estados Unidos. El procedimiento anterior se resume como:

Para una población:

Para una muestra:

en donde es la suma de todos los valores de la población (o muestra) observados, N es el número de observaciones en la población y n es el de observaciones en la muestra.

Propiedades de la media aritmética

1. La suma de las desviaciones o diferencias de cada valor respecto a la media es igual a cero.

2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de cada valor respecto a la media es un valor mínimo.

3. La media puede utilizarse para determinar el valor total de la población. (Número de elementos) * (Media) = Total de la población

4. La media se afecta sustancialmente hacia arriba o hacia abajo con la presencia de valores extremos (muy grandes o muy pequeños) respecto a la media.

EJEMPLO Mediante el uso de la tabla 3.1, calcule la media aritmética de las utilidades ganadas por las 100 multinacionales más grandes con oficinas en los Estados Unidos.

Tabla 3.1

SOLUCION = (78 662 / 100) = 782.62 millones de dólares

La solución se puede encontrar por cálculo manual o, mucho más rápidamente, por computadora después de que los datos de la tabla 3.2 se le hayan introducido.

Media geométrica

La media geométrica de un conjunto de observaciones es la raíz n ésima de su producto. El cálculo de la media geométrica exige que todas las observaciones sean positivas.

MEDIA GEOMETRICA.

Esta es una medida que puede aplicarse al crecimiento exponencial o interés compuesto, pues obtiene la raíz enésima de un grupo de n datos multiplicados entre sí, por ejemplo, la raíz cúbica del producto de 3 datos, o la raíz octava del producto de 8 datos. El resultado obtenido, al elevarse a la potencia enésima, produce el producto de todos los datos multiplicados entre sí.

Para una población:

Para una muestra:

Características de la media geométrica:

1. El cálculo de la media geométrica está basado en todos los elementos de un conjuntos de datos. El valor de cada elemento de dicho conjunto afecta así el valor de la media geométrica.

2. Si uno de los valores es cero, el valor de G es cero.

3. Si uno de los valores es negativo y el número de datos es par, el valor de G es imaginario y no tiene interpretación.

Si uno de los valores es negativo y el número de datos es impar, aunque G existe, su valor no es representativo.

4. La media geométrica es afectada por valores extremos en una menor cantidad que lo es la media aritmética. Por ejemplo, la media geométrica de los valores 1, 4 y 16 es 4, mientras que la media aritmética de los mismos valores es 7. El valor 7 es más cercano al valor alto 16 que el valor 4 lo es de 16. El valor de G es siempre menor que el valor de la media de los mismos datos, excepto cuando todos los valores en una serie son iguales, tales como la media geométrica y la media aritmética para los valores 4, 4 y 4 que son ambas 4.

5. La media geométrica da igual ponderación a las tasas de cambio iguales. En otras palabras, al promediar tasas de cambio geométricamente, la tasa que muestra el doble de su base es compensada por la otra que muestra la mitad de su base; la tasa que muestra un quinto de su base; y así sucesivamente. Las tasas de cambio son ordinariamente expresadas en porcentajes. Puesto que la base de cada proporción expresada en porciento es siempre igual a 100%, el promedio de dos proporciones las cuales se compensan deberá ser 100% también.

6. La media geométrica de las proporciones de los valores individuales con respecto a cada valor precedente en una secuencia de valores es la única medida de tendencia central apropiada para las proporciones. La media aritmética de las proporciones no dará un resultado consistente.

EJEMPLO Las ventas mensuales de una tienda por departamentos y las proporciones de las ventas mensuales a la ventas en cada mes previo de Enero a Mayo, están dadas en la tabla siguiente:

Tabla 3.3

Calcule la media geométrica así como la media aritmética de las tasas y compárelas.

SOLUCION La media geométrica de las tasas es 1.20 ó 120% y la media aritmética es 1.305 ó 130.5%.

Comparación de las ventas calculadas mediante la media aritmética y la media geométrica:

Tabla 3.4

Media armónica

Es el inverso de la media aritmética de los inversos

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