Probabilidad

1.- Un embarque de 10 televisores contiene 3 unidades defectuosas. Un hotel realiza una compra al azar de 3 de los televisores. Si X es el número de unidades defectuosas que compra el hotel:

a.- Encuentre la función de probabilidad f(x)

b.- Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación estándar S(x)

RESPUESTA:

Se trata de una distribución hipergeométrica. Aquí la fórmula es P(X=x) = C(d,x) * C(N-d,n-x) / C(N,n). La C es de combinación y se aprovecha las calculadoras científicas de hoy para realizar estos cálculos.

Las variables conocidas y desconocidas que se tienen son:

N es la población N=10 televisores

n es el tamaño de la muestra n=3 televisores comprados al azar

d es el número de elementos favorables en la población d=3 unidades defectuosas

x es el número de elementos favorables (unidades defectuosas que se podrían presentar en la compra) en la muestra

Entonces, sustituyendo en la ecuación de distribución hipergeométrica, se tiene:

P(X=x) = C(d,x) * C(N-d,n-x) / C(N,n)

P(X=x) = C(3,x) * C(10-3,3-x) / C(10,3)

P(X=x) = C(3,x) * C(7,3-x) / C(10,3)

Como la distribución de x es {0, 1, 2, 3} ya que pueden salir hasta tres unidades defectuosas, se sigue:

P(X=0) = C(3,0) * C(7,3-0) / C(10,3) = 7/24 = 0,2916

P(X=1) = C(3,1) * C(7,3-1) / C(10,3) = 21/40 = 0,525

P(X=2) = C(3,2) * C(7,3-2) / C(10,3) = 7/40 = 0,175

P(X=3) = C(3,3) * C(7,3-3) / C(10,3) = 1/120 = 0,0083

b)

La distribución de probabilidad de este experimento se muestra en las dos primeras columnas de la tabla A. En la tabla, el valor esperado se encuentra al final de la columna tres como el total de la misma. La varianza se encuentra en el total de la columna cuatro. La desviación estándar se encuentra en la columna 5 de la misma tabla A.

Xi P(Xi) Xi* P(Xi) (Xi - μ)2 * P(Xi)

0 7/24 0 (0-0.9)2 * 7/24 = 0.23

1 21/40 21/40 (1-0.9)2 * 21/40 = 0.005

2 7/40 14/40 (2-0.9)2 * 7/40 = 0.21

3 1/120 3/120 (3-0.9)2 * 1/120 = 0.03

TOTALES Σ P(Xi) = 1 Σ Xi* P(Xi) = μ

= Es(X) = 0.9 Σ (Xi - μ)2 * P(Xi) = Var. = 0.475 Desv. Stand. = =0.68

Tabla A

2. Sea X una variable aleatoria con función de densidad

a) Determine el valor de a para que la función sea efectivamente una función de densidad de probabilidad.

RESPUESTA:

Para que su densidad corresponda a función de probabilidad, debe suceder que la suma de la distribución de probabilidad sea igual a uno. Teniendo esto presente, se sustituye la variable por el valor que puede ir tomando según las condiciones dadas, dejando a posteriormente como la incógnita que se tendría que despejar. Entonces:

{a[3(0)-(0)2] + a[3(1)-(1)2] + a[3(2)-(2)2] + a[3(3)-(3)2]} = 1

{a[0-0] + a[3-1] + a[6-4] + a[9-9]} = 1

{0 + 2a + 2a + 0} = 1

4a = 1

por lo tanto a= ¼.

b) Calcule P (1 < X < 2).

RESPUESTA:

A causa de tener el valor de a en la función de probabilidad dada, calculamos la probabilidad cuando la variable es 2, luego cuando la variable es 1, para finalmente hallar la diferencia entre estos resultados, ya que la condición es 1 < X < 2. Entonces:

P(2) = a(3x – x2) = ¼ (3(2)-(2)2) = ¼ (2) = ½ = 0.5

P(1) = a(3x – x2) = ¼ (3(1) – (1)2) = ¼ (2) = ½ = 0.5

Como se observa, no hay diferencia entre las probabilidades halladas, lo que dice que la probabilidad con la condición P (1 < X < 2) es de 0.5. Se muestra gráficamente así:

Es que de 1 a 2 más o menos es la mitad de la gráfica.

3.- Un estudio examinó las actitudes nacionales acerca de los antidepresivos. El estudio reveló que 70% cree que “los antidepresivos en realidad no curan nada, sólo disfrazan el problema real”. De acuerdo con este estudio, de las siguientes 5 personas seleccionadas al azar:

a.- ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 tengan esta opinión?

P (X ≥3) = P (X = 3) ¬ + P ( X = 4) + P (X = 5)

P ( X ≥ 3) = b (3; 5; 0,7) + b (4; 5; 0,7) + b (5; 5; 0,7)

= 5 (3 (0, 7)3 (0, 3)2 + 5 (4(0, 7)4 (0, 3)1 + 5 (5 (0, 7)5 (0, 3)0

= 0, 3087 + 0, 36015 + 0, 16807

= 0, 83692

P (x ≥ 3) ≈ 83, 7 %

b.- ¿Cuál es la probabilidad de que máximo 3 tengan esta opinión?

P ( x ≤ 3) = p (x = 0) + p (x = 1) + p(x = 2) + p (x = 3)

P (x ≤ 3) = b (0; 5; 0, 7) + b (1; 5; 0, 7) + b (2; 5; 0, 7) + b (3; 5; 0, 7)

= 5 (0 (0, 7)0 (0, 3)5 + 5 (1(0, 7)1(0, 3)4 + 5(2 (0, 7)2 (0,

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