Problemas de optimizacion.

APLICACIONES DE LA DERIVADA (continuación)

3. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

1. Sean dos números no negativos cuya suma es 10 y su producto máximo. Encuentra el valor de estos números y el valor del producto máximo

Para resolver este problema designemos a a y b las variables que representan a los números buscados y sigamos los pasos del recuadro anterior

1. La función a maximizar es [pic 1]  ("su producto máximo")
2. La relación entre a y b es [pic 2]  ("cuya suma es 10") de aquí tenemos que [pic 3]
3. La función queda, por lo tanto, [pic 4]
4. Si derivamos P con respecto a b, tenemos:  [pic 5] 
5. Para encontrar los valores críticos igualamos la derivada con cero y resolvemos para b [pic 6], de donde  [pic 7]
6. Para saber si [pic 8] corresponde a un máximo o mínimo de la función P encontremos [pic 9] y por ser negativo para todos los valores de b entonces P tiene un máximo en [pic 10].
7. Entonces uno de los números buscados es 5. Para encontrar el otro valor usamos la igualdad del punto (ii) [pic 11] (en este caso los dos números resultaron iguales, aunque no siempre sucede así). Si queremos conocer el valor del producto máximo usamos la igualdad del punto (i) [pic 12]

1. Un granjero tiene 2400 pies de malla y desea cercar un campo rectangular que limita con un río (no necesita cercar a lo largo del río). Hallar las dimensiones del terreno y su área máxima.

Aquí es necesario hacer un dibujo para tener claro el rectángulo que se debe formar[pic 13]

si x e y son las dimensiones del campo hay que tener en cuenta que sólo se van a cercar tres lados de esta superficie (2y y x).  Siguiendo los pasos del recuadro tenemos que:

1. La función a maximizar es [pic 14]  ("del terreno de área máxima")
2. La relación entre x y y es [pic 15]  ("tiene 2400 pies de malla y desea cercar un campo rectangular ") de aquí tenemos que [pic 16]
3. La función queda, por lo tanto, [pic 17]
4. Si derivamos A con respecto a y,  tenemos:  [pic 18] 
5. Para encontrar los valores críticos igualamos la derivada con cero y resolvemos [pic 19], de donde  [pic 20]
6. Para saber si [pic 21] corresponde a un máximo o mínimo de la función A encontremos [pic 22] y por ser negativo para todos los valores de y entonces A tiene un máximo en [pic 23]
7. La longitud del lado perpendicular al río es de 600 pies. Para encontrar la longitud del otro lado (ii) [pic 24]. Con esto podemos decir que la longitud del lado del terreno paralelo al río es de 1200 pies. Por último, el área que encierra el terreno es (igualdad del punto i) [pic 25] pies al cuadrado.

1. Considera dos números cuya suma es 15 y el producto de uno de ellos, con el cuadrado del otro, es mínimo. Obtener el producto máximo de ambos números.

Sean p y q los dos números. Siguiendo los pasos del recuadro tenemos que:

1. La función a maximizar es [pic 26]  ("el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro")
2. La relación entre p y q es [pic 27]  ("cuya suma es 15") de aquí tenemos que [pic 28]
3. La función queda, por lo tanto, [pic 29]
4. Si derivamos M con respecto a q,  tenemos:  [pic 30] 
5. Para encontrar los valores críticos igualamos la derivada con cero y resolvemos [pic 31], de donde encontramos dos soluciones, a saber: [pic 32] y [pic 33].
6. Como tenemos dos valores críticos hay que usar el criterio de la segunda derivada para saber cuál corresponde al producto máximo y cuál al mínimo. Encontremos la segunda derivada [pic 34]. Evaluando esta segunda derivada en los valores críticos tenemos que para [pic 35],  [pic 36], por lo que con [pic 37] tenemos el producto mínimo.

Para [pic 38],  [pic 39], obtenemos el producto máximo. El valor de q que nos interesa para resolver este problema es [pic 40].

1. Como todavía no tenemos el valor del producto máximo debemos encontrar el valor de p usando la igualdad del punto (ii) con [pic 41], [pic 42]. El producto máximo buscado es, usando la igualdad del punto (i), [pic 43]

Ejercicios para el aula

1. Sean dos números positivos cuya suma es mínima y su producto es 100. El valor de uno de estos números es

1. Uno de los lados del rectángulo de área máxima y perímetro igual a 100 es

1. Uno de los lados del rectángulo de área 100 m2 y perímetro el menor posible, mide (en metros)

1. Juan tiene 200 pies de tela de alambre con el que planea cercar un patio rectangular para su perro. Si desea que el área sea máxima uno de los lados del patio debe medir (en pies)

1. Un granjero tiene 80 metros de tela de alambre, pretende formar un corral junto a un granero. Si el lado que está junto al granero no necesita cerca, el lado más corto del corral mide (en metros)

1. Un granjero tiene 80 metros de tela de alambre, pretende formar un corral junto a un granero. Si el lado que está junto al granero no necesita cerca, el lado más largo del corral mide (en metros)

1. Un granjero tiene 80 metros de tela de alambre, pretende formar un corral junto a un granero. Si el lado que está junto al granero no necesita cerca, el área más grande que se puede encerrar con el alambre es (en metros al cuadrado)

1. La suma de dos números es 60. El valor de uno de ellos para tener su producto máximo es

1. Sean a y  b dos números tal que su diferencia sea 100 y su producto mínimo. El valor del número más pequeño es

1. Sean a y  b dos números tal que su diferencia sea 100 y su producto mínimo. El valor del número más grande es

1. El valor mínimo de la suma de un número no negativo y su recíproco es

1. Se tiene 60 metros de alambre para cercar un jardín rectangular de área máxima, pero uno de los lados corresponderá a la pared de la casa.. La longitud más grande del jardín medirá

1. Se tiene 60 metros de alambre para cercar un jardín rectangular de área máxima, pero uno de los lados corresponderá a la pared de la casa. La longitud más pequeña del jardín medirá

Ejercicios para la casa

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