Comportamiento gráfico y problemas de optimización

Universidad Nacional Autónoma de México

Colegio de Ciencias y Humanidades

Plantel Sur

Academia de Matemáticas

Cálculo Diferencial e Integral I

LEAL VILLAVICENCIO FERNANDO ABEL

SECUENCIA DIDÁCTICA PARA: Determinar los criterios que deben cumplir los máximos y mínimos en el análisis gráfico y en problemas de optimización.

UBICACIÓN:

UNIDAD 4 Comportamiento gráfico y problemas de optimización

PROPÓSITO (S)

Analizar las relaciones existentes entre la gráfica de una función y sus derivadas para obtener información sobre el comportamiento de la función; utilizar dicha información para resolver problemas de optimización.

APRENDIZAJES:

TEMÁTICA:

• Comportamiento gráfico de una función.

- Crecimiento y decrecimiento de funciones.

- Puntos críticos.

- Concavidades.

- Máximos y mínimos, criterio de la primera y segunda derivada.

- Puntos de inflexión.

- Gráfica de f(x) a partir de las gráficas de y , y viceversa.

• Problemas de optimización.

BIBLIOGRAFÍA:

ACTIVIDADES A REALIZAR:

A continuación se describen las actividades a realizar en cada una de las sesiones propuestas para esta unidad y su propósito.

UNIDAD 4. COMPORTAMIENTO GRÁFICO Y PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Tiempo 20 horas

INTRODUCCIÓN

La secuencia didáctica, se desarrollará en nueve sesiones que permitirán establecer el criterio de la primera y segunda derivadas, para determinar los máximos y mínimos de funciones, mismos que aplicaremos en la construcción de gráficas de funciones y resolución de problemas. Cada una de las sesiones contiene actividades de aprendizaje que serán desarrolladas por los alumnos, para que se apropien de los conceptos relacionados con la derivada y los apliquen en el análisis del comportamiento gráfico de funciones y en la solución de problemas de optimización, que involucran los criterios de la primera y segunda derivadas. La última sesión, se utilizará para la evaluación de los aprendizajes de la unidad.

SESIÓN UNO

Planteamiento y solución de un problema de optimización.

Como punto de partida para el desarrollo de la secuencia didáctica, se planteará y resolverá un problema de optimización, cuya solución será mediante aspectos aritméticos, algebraicos y gráficos con la finalidad de que los alumnos conozcan la insuficiencia de éstos para la solución exacta del problema y dar entrada de manera natural los conceptos propios del cálculo diferencial para la solución del problema.

Propósitos de la sesión

Obtener la solución aproximada del problema del volumen de la caja, mediante los procesos infinitos que involucran los aspectos algebraico, tabular y gráfico, para dar entrada de manera natural a los conceptos del Cálculo Diferencial en la solución exacta del mismo.

Aprendizajes

A través del desarrollo de las actividades de esta sesión, el alumno:

• Infiere a través de un análisis geométrico las relaciones entre los elementos del problema.

• Establezca el modelo algebraico asociado, mediante el cual, utilizarán los procesos infinitos para determinar la solución en forma aproximada.

• Conocerá la insuficiencia del procedimiento utilizado, por lo que para la solución exacta, se requieren de los conceptos y las relaciones existentes entre la gráfica de una función y sus dos primeras derivadas: signo de la primera derivada asociada con el crecimiento o decrecimiento de la función, derivada nula con puntos críticos, signo de la segunda derivada, con concavidad y segunda derivada nula con un posible cambio de concavidad.

Problema de la caja abierta. Se desea construir una caja abierta para almacenar leche con una hoja rectangular de tetrapac con 20 centímetros de largo y 15 centímetros de ancho. Para la construcción de la caja marca cuadrados de igual longitud en las cuatro esquinas y recórtalos, luego dobla las cejas hacia arriba para formar la caja.

1. Determina el modelo geométrico relacionado con el problema.

X(20-2X)(15-2X)

2. Representa el modelo algebraico del volumen de la caja como una función de la profundad de la caja. 4(X)¨3-70(X)¨2+300(X)

3. Traza la gráfica de la función volumen en el plano cartesiano xy.

4. ¿Qué parte de la gráfica representa la situación del problema? Del punto 0,0 al punto 7.5,0

5. ¿Qué longitud del cuadrado será recortado para formar una caja que contenga un volumen de 250 centímetros cúbicos? De 10 cm por 5 cm

6. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja que proporcionan el volumen máximo? De 14 por 9 cm

7. ¿Cuál es el volumen máximo de la caja? 378cm

Solución del problema de la caja.

Modelo geométrico para la representación del volumen de la caja

Actividad de aprendizaje 1.1

En una hoja de tu cuaderno marca las dimensiones de la hoja rectangular de tetrapac del problema de la caja abierta.

Marca en las cuatro esquinas de la hoja rectangular cuadrados de longitud igual a 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 centímetros, entre otros, luego recórtalos y las cejas dóblalas hacia arriba para formar la caja, tal como se ilustran en los siguientes esquemas. La longitud del cuadrado x, representa la profundad de la caja (altura).

Caja abierta

Modelo algebraico del volumen de la caja.

Actividad de aprendizaje 1.2

Con base en los esquemas presentados, completa los datos de la tabla 1.

Largo de la hoja Ancho de la hoja Profundidad de la caja Largo de la caja Ancho de la caja

16 11 352 20 18

Tabla 1. Dimensiones de la caja.

Por lo que el modelo algebraico que representa el volumen de la caja como una función de la profundidad es . Considerando que las dimensiones de la caja no pueden ser negativas, escribe las relaciones de orden para cada una de ellas, es decir, , y . Por lo que la condición para la profundidad de la caja es . Justifica esta condición POR QUE LLEGA UN MOMENTO EN EL QUE YA NO ES POSIBLE CONTINUAR CORTANDO LA HOJA DE TETRAPACK .

Actividad de aprendizaje 1.3

Tomando como base la profundidad en la construcción de las diversas cajas, completa los datos de la tabla 2.

Tabla 2. Volúmenes de la caja considerando a la profundidad un entero.

Profundidad Largo Ancho Volumen

x 20-2x 15-2x x(20-2x)(15-2x)

0 20 15 0

1 18 13 234

2 16 11 352

3 14 9 378

4 12 7 336

5 10 5 250

6 8 3 144

7 6 1 42

5 0 0

Actividad de aprendizaje 1.4

Con base en los datos de la tabla de los volúmenes de la caja, contesta lo que se te pide.

¿Cuáles son las dimensiones de la caja que dan el volumen máximo? __14 cm por 9 cm ________

¿realmente será el volumen

máximo? Sii :DD

Por supuesto que no, ya que solo consideramos profundidades (alturas) de la caja números enteros. Para obtener una mejor aproximación al volumen de ésta, se consideran las profundidades que dan los dos volúmenes más grandes, éstos se encuentran en la tabla 2 con profundidades 2 y 3, respectivamente, para una aproximación con decimales, completa los datos de la tabla 3.

Tabla 3. Volúmenes de la caja con profundidades que incluyen décimos.

x 20-2x 15-2x x(20-2x)(15-2x)

2.1 15.8 10.8 358.34

2.2 15.6 10.6 363.79

2.3 15.4 10.4 368.368

2.4 15.2 10.2 372.096

2.5 15 10 375

2.6 14.8 9.8 377.104

2.7 14.6 9.6 378.86

2.8 14.4 9.4 379.01

2.9 14.2 9.2 378.86

Como puede observarse de la tabla 3, el volumen máximo incluyendo décimos se encuentra con la profundidad x = 2.8, ¿será realmente el volumen máximo de la caja? ___esta vez sí: DD ¿qué procedimiento se realizaría para obtener una aproximación mejor?__una tabla con aproximaciones________________

Procediendo con la forma descrita, se resuelve el problema de manera aproximada incluyendo centésimos y milésimos. Para la solución del problema de manera exacta, se requieren los conceptos del cálculo diferencial.

Actividad de aprendizaje 1.5

En la figura 1, grafica la función volumen con los datos de

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