Programación lineal y entera ejercicio

EJERCICIOS REALIZADOS EN WIN - QSB

CATEDRÁTICO: EFREN OSORIO RAMIREZ.

ALUMNOS:

RAMÍREZ ANGELES RUBÉN.

TEJOCOTE ROMERO ALDO.

HORA: 9-10HRS.

PROGRAMACION LINEAL Y ENTERA

EJERCICIO 1

La empresa AXUS S.A. desea conocer la cantidad de productos A, B y C a producir para maximizar el beneficio, si cada unidad vendida genera en utilidad $150, $210 y $130 por unidad respectivamente.

Cada producto pasa por 3 mesas de trabajo, restringiendo la cantidad de unidades producidas debido al tiempo disponible en cada una de ellas. La siguiente información muestra el tiempo requerido por unidad de cada producto en cada mesa y el tiempo total disponible semanalmente (tiempo dado en minutos):

Tiempo requerido

Mesa 1 Tiempo requerido

Mesa 2 Tiempo requerido

Mesa 3

Producto 1 2 3

Producto

10 15 7

Producto

12 17 7

Producto

8 9 8

Tiempo total disponible por mesa 3300 3500 2900

Se supone que cada unidad producida es vendida automáticamente. Determinar la combinación de productos que maximicen la utilidad para la compañía.

MODELO MATEMÁTICO

Función Objetivo (F.O.):

Max. Z = $150X1 + $210X2 + $130X3

Restricciones (S.A.):

10X1 + 15X2 + 7X3 ? 3300 Minutos

12X1 + 17X2 + 7X3 ? 3500 Minutos

8X1 + 9X2 + 8X3 ? 2900 Minutos

X1 , X2 , X3 ? 0

Podemos ver claramente que estamos ante un problema de Maximización, con tres restricciones y tres variables (las cuales trabajaremos como variables continuas de tipo No Negativas).

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA:

MATRIZ FINAL

La primera corresponde al análisis de las variables definidas (X1, X2 y X3).

La columna Valores de la solución presenta los valores óptimos encontrados. En este ejemplo se tiene que X1 es 0 unidades, X2 es 105,4795 unidades y X3 es 243,8356 unidades.

La columna Costo o Utilidad Unitaria muestra los coeficientes de la función objetivo para cada variable.

La columna Contribución Total representa el costo o utilidad generado por cada variable. Por ejemplo, si el valor de la variable X2 es

105,4795 unidades y la utilidad unitaria es $210, el beneficio total resultará de la multiplicación de ambos valores dando como resultado $22.150,69. Justo debajo de la última contribución aparece el valor de Z óptimo ($53.849,32).

La columna Costo Reducido identifica el costo que genera incrementar una unidad para cada variable no básica. La siguiente columna llamada Estatus de la Variable muestra si una variable es básica o no.

La siguiente parte de la matriz final, presenta las variables de holgura del sistema (C1, C2, C3).

La columna Lado de la mano derecha muestra el valor alcanzado al reemplazar los valores de X1, X2 y X3 en cada restricción (recordar que cada restricción se identifica con su variable de holgura).

Las dos columnas siguientes muestran las especificaciones dadas a las restricciones en cuanto al operador de relación (?) y los valores originales de las restricciones (3.300, 3.500 y 2.900 minutos).

PROGRAMACIÓN POR METAS

EJERCICIO 2

Formular el problema de la Planificación de la producción de una fábrica de papel como un problema de programación por metas. Supóngase la existencia de dos procesos, uno mecánico y otro químico, por los que se puede obtener la pulpa de celulosa para la producción del papel.

El modelo de programación multiobjetivos es el siguiente:

Objetivos: Max f1(x) = 1000X1 + 3000X2 (Maximizar el margen bruto)

Min f2(x) = X1 + 2X2 (Minimizar la demanda biológica de O2)

Restricciones rígidas iniciales:

1000X1 + 3000X2 ? 300000 (Margen Bruto)

X1 + X2 ? 400 (Empleo)

X1 ? 300 (Capacidades de producción)

X2 ? 200

X1, X2 ? 0

Definidas las variables de decisión y los atributos/ objetivos relevantes del problema que nos ocupa, se define las siguientes METAS:

g1: Para la demanda biológica de oxígeno: un nivel de aspiración de 300 unidades, pues desea que sea lo más pequeña posible.

g2: Para el margen bruto: alcanzar un valor lo más grande posible, ojalá mayor de 400000 u.m.

g3: Para el empleo: no desea ni quedarse corto ni contratar mano de obra adicional.

g4: El decisor no desea superar sus

capacidades de producción, lo que implicaría recurrir a turnos extras.

DEFINIENDO LAS RESTRICCIONES TIPO METAS:

Las restricciones quedarían de la siguiente forma:

g1: X1 + 2X2 + n1 - p1 = 300 (Demanda Biológica de O2)

g2: 1000X1 + 3000X2 + n2 - p2 = 400000 (Margen Bruto)

g3: X1 + X2 + n3 - p3 = 400 (Empleo)

g4: X1 + n4 - p4 = 300 (Capacidades de Producción)

g5: X2 + n5 - p5 = 200

X1, X2 ? 0

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA:

*Las toneladas de celulosa a producir por medios mecánicos son 300.

* Dado que n1 y p1 son ambas cero, la demanda biológica de oxígeno mínima es de 300 unidades, igual al nivel de aspiración.

* La meta 2, asociada con el margen bruto, se queda por debajo del nivel de aspiración en cuantía de 100.000 u. m., valor que asume la variable de desviación n2.

*La meta del empleo se fija en 100 unidades de mano de obra menos que el nivel de aspiración que era de 400.

* Las metas 4 y 5, asociadas con los niveles máximos de producción por cada método, se fijan en 0 ton. de capacidad no aprovechada, para la 4, y de 200 para la 5.

PLANEACIÓN AGREGADA

EJERCICIO 3

Según el departamento de pronósticos de la compañía ABC S.A., las demandas de artículos para los próximos seis meses serán:

ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO

PRONOSTICOS 1800 1500 1100 900 1100 1600

DIAS 22 19 21 21 22 20

TOTALES DE LOS PRONOSTICOS DE LA DEMANDA 8000

CANTIDAD DE DIAS LABORABLES 125

Se desea preparar un plan de producción para la compañía, considerando la siguiente información adicional:

- Costo materiales $100.000/unidad

- Costo de mantener Inventario $1.50/unidad/mes

- Costo marginal por ventas perdidas $5.00/unidad/mes

- Costo marginal de subcontratación $20.00/unidad

- Costo de contrataciones y capacitaciones $200.00/trabajador

- Costo de despidos $250.00/trabajador

- Horas de trabajo requeridas 5/unidad

- Máximo de horas de trabajo extras por mes 8 Horas laborables normales por día 8 Horas

- Costo del tiempo normal $4.00/hora

- Costo del tiempo extra $6.00/hora

- Trabajadores disponibles a enero primero 40 Trabajadores

- Capacidad máxima que se puede subcontratar 100 Unidades

- Inventario inicial 400 unidades

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA:

La solución se hará basada en la estrategia de mantener un nivel constante de 40 empleados al comienzo de cada mes, seleccionando la opción Cantidad inicial de empleados constantes.

Esta solución impide la contratación y despidos de empleados.

En este caso, la cantidad de empleados es suficiente para satisfacer la demanda, por lo cual no es necesario trabajar horas extras ni subcontratar parte de la producción

Manteniendo este nivel máximo de producción con 40 empleados, al final del sexto periodo se tendrá un inventario final de 1540 unidades.

Para observar los costos de esta estrategia seleccionaremos en el menú Resultados la opción Mostrar análisis de costos.

El costo total de esta estrategia es de $162.310.

PRONOSTICOS

EJERCICIO 4

Información suministrado por el Departamento de Estadísticas de la ciudad, el número de carros que transitaron en los últimos 7 años fueron:

AÑO CANTIDAD

1998 1’200.000

1999 1’500.000

2000 1’850.000

2001 1’915.000

2002 2’400.000

2003 2’750.000

2004 2’920.000

Pronosticar la cantidad de vehículos para los años 2005 y 2006.

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA:

La primera opción (permanente en todos los métodos) corresponde al número de periodos a pronosticar (para nuestro ejemplo problema son dos años). Recordemos que ? (alpha) es una constante entre 0 y 1.

El pronóstico para los dos años correspondiente a los valores 8 y 9.

REGRESIÓN LINEAL

EJERCICIO 5

Predecir el valor de Y para un X de 40 si se tienen los siguiente datos:

X Y

10 1000

15 1220

20 1310

25 1670

30 1845

35 2050

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA:

Ingresamos los datos del problema como se muestra a continuación (factor 1 equivale a X) y se deberá marcar el factor 2 (que para nuestro caso es Y) :

Los resultados de la regresión se muestran de la siguiente forma:

Las desviaciones correspondientes (9,35 para X y 403,34 para Y). Los valores de a y b de la ecuación son: a=5533,4762 y b=42,7714

Y

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