Ejercicios de programación lineal.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE FRONTERA – SULLANA

INGENIERIA ECONOMICA

RESOLUCIÓN DE BATERIA DE EJERCICIOS

[pic 2]

AUTOR:

FRANCISCO RENATO VALDEZ CAMPOS

PROFESOR:

GROVER VALENTY VILLANUEVA

CURSO:

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

PIURA – SULLANA

2016

RESOLUCIÓN DE CASOS DE APLICACIÓN

1. Representar el conjunto de puntos que satisfacen simultáneamente las inecuaciones:

X < = 2 ; X > = -2 ;  Y < = 1

• Ingresamos las siguientes restricciones en el programa POM QM:

1. X <= 2
2. -2X >= 4 ; Esta restricción corresponde a la inecuación X >= -2, pero el programa no asimila los números negativos en RHS y tampoco muestra en gráficos la parte negativa
3. X2 <= 1 ; Es el equivalente a la inecuación Y <= 1

• Y el programa nos da el siguiente resultado:[pic 3]

[pic 4]

• Con ayuda del programa geogebra se puede apreciar mejor la solución y demostrar que -2X >= 4 es igual X >= -2[pic 5]

1. Describir mediante un sistema de desigualdades la región interior del polígono convexo con vértices en los puntos: O (0,0), A (0,4), B (4,0), C (3,3)

• Las inecuaciones que satisfacen los puntos son:

1. X1 >= 0 ; Restricción de negatividad
2. X2 >= 0 ; Restricción de negatividad
3. X1 + 3X2 <= 12 ; esta inecuación satisface el punto A (0,4)
4. 3X1 + X2 <= 12 ; esta inecuación satisface el punto B (4,0)
5. Entre las inecuaciones 3 y 4 satisfacen el punto C (3,3)

• Ingresamos las inecuaciones 1,2,3,4 al programa POM QM y usamos la función de maximización (Z = X1 + X2) para demostrar que el punto C (3,3) está incluido en la gráfica.

[pic 6][pic 7]

1. Escribe inecuaciones que definan una región plana cerrada de modo que los puntos (1,0) y (0,1) pertenezcan a dicha región, y que los puntos (0,0) y (2,2) no pertenezcan. Haz una representación gráfica de la región que elijas.

• En el programa digitamos las siguientes restricciones:

1. X1 >= 0 ; Restricción de negatividad
2. X2 >= 0 ; Restricción de negatividad
3. X1 + X2 <= 2 ; Con esta inecuaciones satisfacemos los puntos (1,0) y (0,1)
4. X1 + X2 >= 1 ; Con esta inecuación satisfacemos los puntos (0,0) y (2,2) sin tomar los (1,0) y (0,1)

• El programa nos muestra el siguiente grafico solución[pic 8][pic 9]

1. Escribe un conjunto de inecuaciones que tengan como solución común el interior de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 2 respectivamente y se apoyan en los ejes coordenados X e Y. (Puedes elegir cualquiera de las posibles colocaciones)

• En el programa digitamos las siguientes restricciones:

1. X1 >= 0 ; Restricción de negatividad
2. X2 >= 0 ; Restricción de negatividad
3. 2X1 + X2 = 2 ; En esta inecuación logramos formar el triángulo rectángulo con el cateto opuesto de medida 1 y el cateto adyacente de medida 2

• El grafico seria el siguiente;

[pic 10][pic 11]

1. Dada la región del plano definida por las inecuaciones:

 X + Y – 1 > = 0 ; 0 < = X < = 3 ; 0 < = Y < = 2.

¿Para qué valores de la región es máxima la función Z = 5X + 2Y?

• Función de Maximización: 5X1 + 2X2 = 5X + 2Y, X = X1 y Y = X2

• En el programa digitamos las siguientes restricciones:

1. X1 >= 0 ; Restricción de negatividad
2. X2 >= 0 ; Restricción de negatividad
3. X1 + X2 <= 1 ; Resolución de la inecuación X + Y – 1 >= 0, donde Y = X2
4. X1 <= 3 ; Reemplazo de X < = 3, donde X = X1
5. X2 <= 2 ; Reemplazo de Y < = 2, donde Y = X2

• Obtendremos el siguiente gráfico:[pic 12]

[pic 13]

• Respuesta: La maximización lo obtenemos en el punto (3,2) y remplazando estos datos en la función de maximización 5X1 + 2X2 detendremos 5(3) + 2 (2) = 19

1. Maximizar la función F (X, Y) = 3X + 2Y en el dominio Y + 2X  ≥ 0 ; 3Y - X ≤ 1 ;

2 ≥ X  ≥ 0 ; Y ≥ 0

• X = X1 y Y = X2, Hacemos un cambio de variable para la digitalización en el programa POM QM

• Ingresamos las siguientes restricciones al programa:

1. X1 >= 0 ; Restricción de negatividad y cumple X >= 0
2. X2 >= 0 ; Restricción de negatividad y cumple Y >= 0
3. X1 <= 2 : Cumple 2 >= X
4. 2X1 + X2 >= 0 ; aplicamos un cambio de términos para que cumpla Y + 2X >= 0
5. –X1 + 3X2 <= 1 ; aplicamos un cambio de términos para que cumpla 3Y – X <=1

• El programa nos muestra el siguiente grafico[pic 14][pic 15]

• Respuesta: Este problema tiene un región factible no acotada o de múltiples soluciones así que podemos escoger cualquier dato que se encuentre en esta región por ejemplo el punto (2,1) y reemplazamos en la función de maximización 3X1 + 2X2 y tendríamos 3(2) + 2(1) = 8

1. Se considera el recinto plano de la figura en el que están incluidos los tres lados y los tres vértices de las rectas asociadas a las desigualdades

a) Hallar las inecuaciones que definen el recinto.

b) Maximizar la función Z = 3X – 6Y = 3X1 - 6X2 sujeta a las restricciones del recinto

• X = X1 ; Y = X2

• Las inecuaciones que definen el recinto y que ingresamos en el programa son:

1. X1 >= 0 ; Restricción de negatividad
2. X2 >= 0 ; Restricción de negatividad
3. X2 <= 3
4. -X1 + X2 >= 0
5. -3X2 + X2 <= 0

• La grafica es la siguiente:

[pic 16][pic 17]

• Respuesta: El punto de maximización es (0,0), esto reemplazando en la función de maximización 3X1 –  6X2 obtendríamos 3(0)  –  6(0) = 0, su valor de maximización es 0.

1. Se considera la región del primer cuadrante determinada por las inecuaciones:

X + Y ≤ 8 ; X + Y ≥ 4 ; X + 2Y ≥ 6

a) Dibujar la región del plano que definen, y calcular sus vértices.

b) Hallar el punto de esa región en el que la función F (X, Y) = 3X + 2Y = 3X1 + 2X2 alcanza el valor mínimo y calcular dicho valor

• X = X1 ; Y = X2

• Para graficar primero ingresamos las siguientes inecuaciones al programa:

1. X1 >= 0 ; Restricción de negatividad
2. X2 >= 0 ; Restricción de negatividad
3. X1 + X2 <= 8
4. X1 + X2 >= 4
5. X1 + 2X2 >= 6

• La gráfica:

[pic 18][pic 19]

• Respuesta: (0,4) es el punto de minimización esto lo reemplazamos en la función de minimización 3X1 + 2X2 y tendríamos 3(0) + 2(4) = 8; El valor mínimo que alcanzaría el recinto plano es 8.

1. a) Representar gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las siguientes inecuaciones lineales: X + 2Y ≤ 10 ; X + Y ≥ 2 ; X ≤ 8; X ≥ 0 ; Y ≥ 0

b) Hallar el máximo y el mínimo de F (X, Y) = X – 3Y = X1 – 3X2, sujeto a las restricciones representadas por las inecuaciones del apartado anterior.

• X = X1 ; Y = X2

• Para representar el conjunto de puntos primero ingresamos las siguientes inecuaciones al programa:

1. X1 >= 0 ; Restricción de negatividad
2. X2 >= 0 ; Restricción de negatividad
3. X1 +2X2 <= 10
4. X1 +X2 >= 2
5. X1 <= 8

• La grafica con el punto de maximización es:[pic 20][pic 21]

• Grafica con el punto de minimización[pic 22][pic 23]

• Respuesta: El punto de maximización es en (8,0) lo remplazamos en la función         X1 – 3X2 y que da (8) – 3(0) = 8; Así que el valor máximo de la gráfica es 8. (0,5) es el punto de minimización de la gráfica así que reemplazaremos los valores en la función X1 – 3X2 = (0) – 3(5) = -15; el valor mínimo de la gráfica es menos -15.

1. Hallar los valores máximo y mínimo de la función F (X, Y) = X + 2Y– 2 = X1 + 2X2 –2, sometida a las restricciones:

X + Y – 2 ≥ 0 ; X - Y + 2 ≥ 0 ; X ≤ 3; Y ≥ 1; Y ≤ 3

• X = X1 ; Y = X2

• Ingresamos las restricciones al programa

1. X1 >= 0 ; Restricción de negatividad
2. X2 >= 0 ; Restricción de negatividad
3. X1 + X2 >= 2 ; Despejamos la inecuación X + Y – 2 >= 0
4. -X1 + X2 >= 2 ; Despejamos la inecuación X - Y + 2 >= 0
5. X1 <= 3
6. X2 >= 1
7. X2 <= 3

• La grafica para la maximización[pic 24][pic 25]

• La grafica para la minimización[pic 26]

[pic 27]

• Respuesta: El punto de maximización es en (3,3) lo remplazamos en la función           X1 + 2X2 y que da (3) + 2(3) = 8; Así que el valor máximo de la gráfica es 9. (1,1) es el punto de minimización de la gráfica así que reemplazaremos los valores en la función X1 + 2X2 = (1) + 2(1) = 3; el valor mínimo de la gráfica es menos 3.

1. Resolver gráficamente el siguiente problema de programación lineal:

Maximizar Z = 0.75X + Y. Sujeto a:

 X + 3Y ≤ 15

5X + Y ≤ 20

3X + 4Y ≤ 24

X ≥ 0 ; Y ≥ 0

¿Es única la solución?

• X = X1 ; Y = X2

• Ingresamos las restricciones al programa

1. X1 >= 0 ; Restricción de negatividad
2. X2 >= 0 ; Restricción de negatividad
3. X1 + 3X2 <= 15
4. 5X1 + X2 <= 20
5. 3X1 + 4X2 <= 24

• El programa nos muestra la siguiente gráfica:[pic 28][pic 29]

• Respuesta: La grafica tiene múltiples soluciones tomare el punto (3.30,3.53) y lo reemplazare en la función de maximización 0.75X1 + X2 = 0.75(3.30) + (3.53) = 6

1. Sea el recinto poligonal convexo definido por el sistema de inecuaciones:

X – 4Y ≥ - 4 ; X + 2Y - 4 ≤ 0 ; X ≥ 0 ; Y ≥ 0 .Se pide:

a) Dibujarlo y hallar sus vértices.

b) Razonar si es posible maximizar en él la f unción F (X, Y) = X + 2Y = X1 + 2X2.

c) En caso afirmativo, calcular el valor óptimo correspondiente y puntos donde se alcanza.

• X = X1 ; Y = X2

• Para graficar el recinto primero tenemos que ingresar las siguientes inecuaciones en el programa:

1. X1 >= 0 ; Restricción de negatividad
2. X2 >= 0 ; Restricción de negatividad
3. -X1 + 4X2 <= 4 ; Queda al despejar la inecuación X – 4Y >= -4 Ya que el programa en la sección de RHS no admite negativos.
4. X1 + 2X2 <= 4 ; Un cambio de términos de la inecuación X +2Y- 4 <= 0

• El grafico mostrado por el programa

[pic 30][pic 31]

• Respuesta: Los vértices del grafico son (0,0) , (0,1) , (1,0) y (1.33,1,33)

El polígono tiene múltiples soluciones tomaremos el que le pertenece a un vértice el punto (1.33,1.33) y lo reemplazaremos en la función de maximización X1 + 2X2 =

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