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EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.


Enviado por   •  8 de Mayo de 2016  •  Tareas  •  1.922 Palabras (8 Páginas)  •  367 Visitas

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EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

 

1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?

Solución

Es un problema de programación lineal.

Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A

Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B

 

 

inversión

rendimiento

Tipo A

x

0,1x

Tipo B

y

0,08y

                                                                                         210000               0,1x+0,08y

Condiciones que deben cumplirse (restricciones):

             [pic 1]

             [pic 2]

[pic 3]R1    [pic 4]

  R2    [pic 5][pic 6]

  R3    [pic 7][pic 8]

  R4        [pic 9]

 

Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones)

         r1                                            r2 (paralela a OY)                      r3(paralela a OX)                           r4

x

y

 

x

y

 

x

y

 

x

y

0

210000

 

130000

0

 

0

60000

 

0

0

210000

0

 

 

 

 

 

 

 

130000

65000

 

La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E

[pic 10]

 

A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000)

La función objetivo es;

F(x, y)= 0,1x+0,08y

 Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice  mas alejado es el D, y por tanto es la solución óptima.

Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la función objetivo,  F,  se alcanza en el vértice D)

 

2.En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?

 Solución

En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos:

Tipo

Bizcocho

Relleno

Beneficio

T. Vienesa

x

1.x

0,250x

250x

T. Real

y

1.y

0,500y

400y

 

 

150

50

 

 
Función objetivo (hay que obtener su máximo):  f(x, y)=250x+ 400y
Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):
[pic 11]

Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la región factible:

 

Para    0.25x+0.50y=50, ó  x + 2y=200

x

Y

0

100

200

0

 

Para   x + y =150

x

Y

0

150

150

0

La otras dos son paralelas a los ejes

Al eje OY    x=125

Al eje Ox      y =125

Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadrante

La región factible la hemos coloreado de amarillo:

[pic 12]

 

Encontremos los vértices:

El  O(0,0), el  A(125, 0) y el  D(0, 100) se encuentran directamente (son las intersecciones con los ejes coordenados)

Se observa que la restricción y[pic 13]es redundante (es decir “sobra”)

Resolviendo el sistema:

[pic 14], por reducción obtenemos y=50, x=100

 

Otro  vértice es el punto  C(100, 50)

...

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