Proporcionalidad

1. INTRODUCIÓN

A menudo nos encontramos con situaciones y fenómenos donde notamos que al aumentar la cantidad de algo que compone a otra, esta ultima también aumenta y a su vez vemos también que de manera inversa existen casos en donde al aumentar la cantidad de algún elemento que compone o incide en otro, este último disminuye. Podemos ver el caso de la elaboración de una receta de cocina es una actividad de magnitudes directamente proporcionales, si usamos 500 gramos de harina para realizar una torta para 4 personas, debemos usar 1000 si deseamos servir a 8 personas. En el caso de Repartir dinero entre personas según sus necesidades es un reparto inversamente proporcional, entre más personas hayan menos se podrá cubrir a cada una.

2. PROPORCIONALIDAD

Antes de abordar la definición de proporcionalidad, recordemos dos conceptos que contribuyen en una mejor comprensión de la misma, como lo son: magnitud y razón. Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente, como por ejemplo La longitud del lado un cuadrado o la capacidad de una botella de agua. Por su parte Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción.

Proporción es una igualdad entre dos razones. Cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para ver cómo se comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporción numérica.

El símbolo matemático '∝' se utiliza para indicar que dos valores son proporcionales

2.1 PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dadas dos variables X e Y, Y es (directamente) proporcional a X (X e Y varían directamente, o X e Y están en variación directa) si hay una constante k distinta de cero tal que:

Y=kX

La relación a menudo se denota

Y∝X

y la razón constante

k=Y/X

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por ese mismo número.

Al dividir cualquier valor de la segunda magnitud por su correspondiente valor de la primera magnitud, se obtiene siempre el mismo valor (constante). A esta constante se le llama razón de proporcionalidad directa.

Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:

A más corresponde más.

A menos corresponde menos.

Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio.

2.1 PROPORCIONALIDAD INVERSA

El concepto de proporcionalidad inversa puede ser contrastado contra la proporcionalidad directa. Considere dos variables que se dice son "inversamente proporcionales" entre sí. Si todas las otras variables se mantienen constantes, la magnitud o el valor absoluto de una variable de proporcionalidad inversa disminuirá proporcionalmente si la otra variable aumenta, mientras que su producto se mantendrá (la constante de proporcionalidad k) siempre igual.

Formalmente, dos variables son inversamente proporcionales (o están en variación inversa, o en proporción inversa o en proporción recíproca) si una de las variables es directamente proporcional con la multiplicativa inversa (recíproca) de la otra, o equivalentemente, si sus productos son constantes. Se sigue que la variable y es inversamente proporcional a la variable x si existe una constante k distinta de cero tal que

Y=k/X

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de cada valor de una magnitud por el respectivo valor de la otra es igual a una constante, llamada constante de proporcionalidad inversa.

2.3 APLICACIÓN EN GEOMETRÍA

El concepto de proporcionalidad es equivalente al de semejanza cuando se comparan dos triángulos semejantes. De hecho las propiedades de la proporcionalidad (reflexividad, simetría y transitividad) son las mismas que las de la semejanza.

...