Proyecto de Sistemas y Señales

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Universidad Nacional Autónoma de México

Facultad de Ingeniería

Laboratorio de sistemas y señales

Proyecto Integrador:

Caracterización de sistemas

Azcárate Fernando Ezequiel        

Semestre 2017-II

Introducción

En el área de la ingeniería la caracterización de los fenómenos físicos y su representación matemática resulta fundamental ya que con base en estos podemos tanto modelar como modificar nuestro entorno para la resolución de problemáticas. Para el análisis de estos fenómenos se recurre a la simplificación de los mismos y a su síntesis, llamamos sistemas y a la interacción con los sistemas, entradas y  respuestas, las llamamos señales. El análisis de ambos, sistemas y señales, nos permite conocer el comportamiento del fenómeno a estudiar y es por esto que esta materia es aplicada en todas las áreas de la ingeniería y es fundamental para el estudio de la aeronáutica, las telecomunicaciones, diseño de circuitos, etc.

El análisis de los sistemas puede clasificarse en dos partes:

1.- El modelado del sistema mediante el uso de ecuaciones diferenciales, tanto su ecuación como sus condiciones iniciales y sus parámetros. Seguido de la resolución de dicho sistema para obtener la respuesta ante variados estados y entrada así como una respuesta total ante cualquier entrada. Este paso puede auxiliarse de la modelación por computadora, usando paquetes de cómputo como Matlab o Maple.

2.-El análisis del modelado del sistema aproximando las respuestas teóricas con las respuestas reales obteniendo así información extra, como la estabilidad del sistema. En este paso se interpretan los resultados obtenidos para poder predecir o modificar el comportamiento del sistema para obtener mejores resultados.

Para el análisis de este proyecto nos centraremos únicamente en un tipo de sistema, los llamados sistemas continuos lineales invariantes en el tiempo, que se caracterizan por la linealidad de su modelo matemático, su causalidad dado que los mismos no conservan memoria y por su continuidad, ya que sus entradas y respuestas están dadas en tiempo continúo. Estos sistemas aunque sean los más simples resultan importantes porque pueden aplicarse a una vasta cantidad de modelos y su análisis resulta el más sencillo y no por esto el menos exacto.

A continuación se analizarán 4 SLI (Sistemas lineales invariantes en el tiempo).

Desarrollo de las actividades

Primer sistema (Freno ABS-INTECO)

El sistema de ABS-INTECO es una maqueta experimental diseñada para emular los efectos dinámicos de una llanta de automotor al momento de frenar, esta maqueta es útil para diseñar esquemas de control que permitan garantizar mayor eficacia en el frenado.

El modelo matemático está dado por la ecuación (1)

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Donde  es la entrada, con  como una variable de frenado y  es una función escalón. [pic 4][pic 5][pic 6]

El valor de las constantes del modelo es:

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Por lo que el modelo queda finalmente como la ecuación (1.a):

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Clasificado como un sistema lineal invariante en el tiempo de segundo orden ya que los coeficientes de la ecuación diferencial son constantes y sus parámetros no varían con el tiempo así como su desplazamiento en el tiempo de la entrada provoca un desplazamiento en el tiempo de la salida.

Caracterización de las respuestas

Para caracterizar matemáticamente la respuesta entrada cero y estado cero se utilizará una entrada escalón.

Entrada cero

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Cuya respuesta es:

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Donde al modelarla se aprecia que la respuesta corresponde a la teoría, se aprecia la estabilización que presenta así como el comportamiento de respuesta de segundo grado.

Estado cero

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Cuya respuesta es: [pic 15]

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Donde se observa que corresponde con la teoría aunque no se aprecia la estabilidad del sistema.

Para las entradas arbitrarías se propone:

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Que tendrán las siguientes respuestas correspondientes

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Donde se aprecia el comportamiento de respuesta de segundo orden que a su vez se ven modificadas por el comportamiento lineal o parabólico previo a la estabilización de la respuesta.  

Caracterización de las respuestas en dominio de la frecuencia

Se obtiene la función de transferencia del sistema:

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Donde se aprecia que dicho sistema es realizable y se obtiene su estabilidad analizando las raíces del denominador, las cuales son:

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Debido a que la parte real de ambas raíces es la misma y es negativa se puede concluir que el sistema es estable.

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Para el patrón de polos y ceros podemos decir que:

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Segundo sistema (Motor de corriente directa)

El motor de corriente directa es una máquina compuesta por dos sistemas, uno eléctrico y uno mecánico, por lo tanto este sistema se encuentra caracterizado por dos ecuaciones diferenciales, una asociada al sistema mecánico y otra al eléctrico. El modelo matemático está representado por las siguientes ecuaciones:

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Donde el producto es igual a nV, la entrada del sistema es  y la salida es . El valor de las constantes es: [pic 34][pic 35][pic 36]

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Por lo que ambas ecuaciones resultan en:

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Sustituyendo (3.a) en (2.a)

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Caracterización de las respuestas

Para caracterizar matemáticamente la respuesta entrada cero y estado cero se utilizará una entrada escalón.

Entrada cero

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Cuya respuesta es:

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Estado cero

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Cuya respuesta es
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Para las entradas arbitrarías se propone:

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Que tendrán las siguientes respuestas correspondientes

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