¿Qué son los números irracionales?

¿Qué son los números irracionales?

Los números irracionales, se definen como aquellos números que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros.

Según lo mencionado, los números irracionales, no pueden ser escritos de la forma [pic 1], donde [pic 2] y [pic 3], por tanto, esta definición, expresa la imposibilidad de representar dicho número como la razón o el cociente de dos enteros.

Si se realiza la división de la fracción, el número irracional se caracteriza por tener su parte decimal infinita, esto los diferencia principalmente de los racionales.

Así, por ejemplo; [pic 4], su parte decimal no se expresa ni de manera exacta ni periódica, es infinita, por lo que se puede decir que no hay dos números enteros cuyo cociente sea [pic 5].

Para denotar el conjunto de los números irracionales se hace con la letra [pic 6] y para definir su conjunto se puede decir, que son todos los números reales [pic 7], que no pertenecen a los números racionales [pic 8].

[pic 9]

Como se puede observar, hay diferentes maneras de definir el conjunto de los números racionales, pero, en resumen, estos números se caracterizan por ser un número decimal infinito periódico.

Propiedades de los números irracionales

El conjunto de los números irracionales también tiene sus propiedades

• La división entre 0 no está definida entre los números irracionales.
• La suma y la multiplicación entre números irracionales no siempre es otro número irracional. Por ejemplo: [pic 10] y el 6 no es irracional.
• La suma de un número racional más un número irracional, da como resultado un irracional. Sea, [pic 11], [pic 12]. Como ejemplo se tiene: [pic 13].
• La resta de un número racional menos un número irracional, da como resultado un irracional. Sea, [pic 14], [pic 15]. Por ejemplo; [pic 16].
• La multiplicación de un número racional diferente de cero, por un irracional da como resultado un número irracional. [pic 17], [pic 18]. Se tiene el caso de: [pic 19].
• La división entre un número racional diferente de cero y un número irracional, el cociente es un número irracional. [pic 20], [pic 21]. Por ejemplo; [pic 22].
• El inverso de un número irracional (elevado -1) es otro número irracional. [pic 23] [pic 24]. Se tiene [pic 25], el inverso [pic 26].
• La raíz cuadrada de un número natural no cuadrado perfecto (que no tenga raíz exacta) es un número irracional. Por ejemplo, [pic 27], [pic 28]. No aplican a esta propiedad, por ejemplo: [pic 29], [pic 30], [pic 31], ya que todas son el cuadrado perfecto de un número natural. Para la suma y la multiplicación de números irracionales se cumple la propiedad conmutativa. [pic 32], donde [pic 33] y para la multiplicación [pic 34], [pic 35].
• Para la adición y el producto de irracionales se verifica la propiedad asociativa. [pic 36], donde [pic 37] y para la multiplicación [pic 38], donde [pic 39].

Operaciones con números irracionales

Con los números irracionales también se realizan operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división. Para realizar las diferentes operaciones básicas, se deben considerar algunas de las propiedades antes mencionadas para números irracionales.

Suma o resta de irracionales

Para sumar o restar números irracionales, se puede realizar verificando si sus radicales son semejantes, es decir, que los radicales tengan el mismo índice y la misma cantidad sub radical.

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