Numeros Irracionales
Enviado por • 30 de Noviembre de 2014 • 1.190 Palabras (5 Páginas) • 1.309 Visitas
1- Martín armó el siguiente número:
2,010203040506070809101112…..
a- ¿Qué criterio pensó Martín para armarlo?
b- Si se sigue con el mismo criterio, ¿se obtiene un número que tiene infinitas cifras no periódicas? ¿Por qué?
c- Armen un número eligiendo algún criterio, como hizo Martín.
Los números irracionales
Los números irracionales son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.
La unión entre los números Racionales y los Irracionales forman los números Reales.
Lo que caracteriza al conjunto de números reales es su completitud.
La propiedad de completitud de IR dice que los números reales ``rellenan la recta numérica'', o que no ``dejan huecos en la recta''. Es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real.
2- Busquen un número racional y otro irracional que se encuentre entre 0 y 1. ¿Cuántos podemos encontrar? ¿Por qué?
Densidad de los Números Racionales y de los Números Irracionales en R
Dados dos números reales diferentes e , su promedio está comprendido entre e . Por lo tanto, entre dos números reales sin importar lo cercano que se encuentren, hay una infinidad de números reales. Esto implica que dado un número real cualquiera no tienen sentido expresiones tales como " el número real siguiente a " o " el número real anterior a ".
Entre dos números reales diferentes hay un número racional, y por lo tanto hay infinitos números racionales entre ellos.
Entre dos números reales diferentes hay un número irracional, y por lo tanto hay infinitos números irracionales entre ellos.
El conjunto de los números racionales es denso en el conjunto de los números reales y el conjunto de los números irracionales es denso en el conjunto de los números reales.
Ejemplo 1.15. Construyamos dos números racionales y dos números irracionales entre e .
Usando expresiones decimales periódicas tenemos que
son dos números racionales entre y .
Usando expresiones decimales no periódicas tenemos que
son dos números irracionales entre y .
Los números Racionales que se encuentran entre 0 y 1 son aquellos en donde el numerador es más chico que el denominador.
3-
a- ¿Cuántos números naturales hay entre 67 y 69? ¿Por qué?
b- ¿Cuántos números racionales con denominador 37 hay entre 67 y 69? ¿Por qué?
c- Encuentren un número irracional que esté entre 67 y 69. Escriban como hacen para encontrarlo.
67=2479/37
68=2516/37
69=2553/37
“Entre dos números naturales consecutivos hay n números racionales con denominador n”.
4- “Buscar cuántos números con dos cifras decimales hay entre 2,37 y 3,8 es lo mismo que buscar cuántas fracciones con denominador 100 hay entre ellos”.
¿Es correcta la afirmación anterior? ¿Por qué?
¿Cuántos números con tres cifras decimales mayores que 3,45 y menores que 4 hay? ¿? ¿Y si se permiten cualquier cantidad de cifras decimales?
237/100 -380/100= 143/100
4000/1000 -3450/1000=550/1000
“Todos los números decimales pueden ser escritos como números fraccionarios y todos los números fraccionarios pueden ser escritos como números decimales”
5- ¿Cuántos números racionales con cuatro cifras decimales hay ente 5/8 y 6/8? ¿Por qué?
¿Y si se permiten cualquier cantidad de cifras decimales?
5/8=0,6250- 6/8=0,7500=0,125
6- Consideren el conjunto de números naturales x que verifican 2<x<6.
a- ¿Cuál es el menor de los elementos de este conjunto? ¿Por qué?
b- ¿Y él mayor? ¿Por qué?
7- Consideren el conjunto de números racionales x que verifican 2<x≤6.
a- ¿Cuál es el menor de los elementos de este conjunto? ¿Por qué?
b- ¿Y él mayor? ¿Por qué?
“Este conjunto no tiene menor elemento”
“Dos números reales son distintos si podemos encontrar algún número entre ellos”
Fracción correspondiente a un número periódico
Una fracción puede dar un número decimal periódico:
Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:
Otro ejemplo:
El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:
• Número periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
• numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
• denominador: tantos 9 como cifras tiene el período
Ejemplo:
• Número periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
• numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
• denominador: tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0 como cifras tiene la parte no periódica.
Ejemplo:
8- Indiquen si existe el número pedido. Si no existe expliquen por qué.
a- El mayor número entero x que verifica: x≤-12,5
b- El menor número entero x que verifica: x>-4,6
c- El mayor número entero x que verifica: x≤10,8
d- El mayor número racional x que verifica: x≤10,8
e- El mayor número racional x que verifica: x<10,8
f- El menor número irracional x que verifica: x<3,6
g- El mayor número irracional x que verifica: x< √5
h- El mayor número irracional x que verifica: x≤ √5
“√5 (o la raíz cuadrada de cualquier otro número natural que no sea cuadrado perfecto) no es una operación a resolver. Es un número y, además, es la única forma de escribirlo de modo exacto”.
1- Martín armó el siguiente número:
2,010203040506070809101112…..
a- ¿Qué criterio pensó Martín para armarlo?
b- Si se sigue con el mismo criterio, ¿se obtiene un número que tiene infinitas cifras no periódicas? ¿Por qué?
c- Armen un número eligiendo algún criterio, como hizo Martín.
2- Busquen un número racional y otro irracional que se encuentre entre 0 y 1. ¿Cuántos podemos encontrar? ¿Por qué?
3- Para pensar:
a- ¿Cuántos números naturales hay entre 67 y 69? ¿Por qué?
b- ¿Cuántos números racionales con denominador 37 hay entre 67 y 69? ¿Por qué?
c- Encuentren un número irracional que esté entre 67 y 69. Escriban como hacen para encontrarlo.
4- “Buscar cuántos números con dos cifras decimales hay entre 2,37 y 3,8 es lo mismo que buscar cuántas fracciones con denominador 100 hay entre ellos”. ¿Es correcta la afirmación anterior? ¿Por qué?¿Cuántos números con tres cifras decimales mayores que 3,45 y menores que 4 hay? ¿? ¿Y si se permiten cualquier cantidad de cifras decimales?
5- ¿Cuántos números racionales con cuatro cifras decimales hay ente 5/8 y 6/8? ¿Por qué?
¿Y si se permiten cualquier cantidad de cifras decimales?
6- Consideren el conjunto de números naturales x que verifican 2<x<6.
a- ¿Cuál es el menor de los elementos de este conjunto? ¿Por qué?
b- ¿Y él mayor? ¿Por qué?
7- Consideren el conjunto de números racionales x que verifican 2<x≤6.
a- ¿Cuál es el menor de los elementos de este conjunto? ¿Por qué?
b- ¿Y él mayor? ¿Por qué?
8- Indiquen si existe el número pedido. Si no existe expliquen por qué.
a- El mayor número entero x que verifica: x≤-12,5
b- El menor número entero x que verifica: x>-4,6
c- El mayor número entero x que verifica: x≤10,8
d- El mayor número racional x que verifica: x≤10,8
e- El mayor número racional x que verifica: x<10,8
f- El menor número irracional x que verifica: x<3,6
g- El mayor número irracional x que verifica: x< √5
h- El mayor número irracional x que verifica: x≤ √5
Problema:
Sin utilizar la calculadora, ¿pueden decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas? Expliquen por qué.
a) La mitad de √50 es √25.
b) El triple de √2 es √18.
c) El producto de 2 por 10 es √200.
d) La suma de √3 y de √7 es √10.
e) La suma de 3 y de 2√7 es 5√7.
f) La diferencia entre √48 y √3 es √27.
g) El doble del producto de √2 y √3 es √24.
h) El cuadrado de la suma de √2 y √3 es √5.
i) (1+√5)² es 6+2√5.
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