Reflexionar sobre lo que es el aprender a pensar

Explicación del tema 1

En este tema reflexionaremos sobre lo que es el aprender a pensar. La idea fundamental es que toda consecuencia debe ser verdadera a partir de un antecedente verdadero. Al antecedente le llamaremos premisa, y a la consecuencia le llamaremos conclusión. El tener conclusiones válidas a partir de premisas verdaderas es el fundamento de un buen pensar. Esta idea intuitivamente fácil de aceptar tiene muchas trampas escondidas y muchas dificultades asociadas que iremos puntualizando en los ejercicios que se han de realizar en este seminario.

El pensar lógicamente nos conduce a la verdad.  Esto sucede en un sentido práctico a la solución de un problema matemático, donde se logra la certeza de que es una solución única; o a la solución de un problema no matemático, en el cual la solución simplemente es lo mejor que nuestro conocimiento y experiencia puede producir, pero por supuesto sin certezas absolutas. El pensar simplemente por intuición o por corazonada nos conducirá más frecuentemente hacia el error. 

[pic 1]

Si Juan propone a Pedro responder a la pregunta: ¿Cuál es el número que al multiplicarse por 3 y sumarle 2 es igual a ese número más 12? Y dice que la respuesta es 5. Lo más lógico es que Pedro pregunte: ¿Por qué? Juan puede decirle: “Fíjate, 3(5) + 2 = 5 + 12 R = 5".

Existe entonces una premisa que expresada matemáticamente queda como 3x + 2 = x + 12 y existe una conclusión de que x = 5.  

Ahora Pedro está convencido de que eso es cierto. Pero su pensamiento lo orilla a pensar más profundamente “¿Cómo Juan puede saber tal cosa?”, o sea, la pregunta es: ¿Qué método siguió Juan para transformar tal premisa en una conclusión? 

Un poco de lógica le dice a Pedro que Juan simplemente piensa en un número y genera combinaciones posibles de ese número para crear su adivinanza. 

Con este conocimiento, Pedro entonces puede crear su propia adivinanza… toma un número, por ejemplo “12”, lo multiplica por cualquier número, por ejemplo 4, le suma una cantidad determinada, por ejemplo 21, y dice que es igual a tantas veces el número más una cantidad determinada.  Hagamos esto en el papel…

12 (4) + 21 = 12 (2) + 35

Siendo así las cosas, Pedro ya puede crear su propia adivinanza: “¿Cuál es el número que al ser multiplicado por 4 y sumarle 21 es igual a dos veces el número sumado a 35?” 

Observa que este problema es muy difícil de resolver si se quiere hacer todo de un solo paso.  Habría que hacer pruebas por ensayo y error.  Por ejemplo, indicar: “¿Se cumple esto cuando x = 8?”, y al ver que esto no es cierto, buscar un nuevo número y así sucesivamente hasta lograr el resultado. 

Pero tal procedimiento resultaría demasiado engorroso, y para evitar tan tedioso trabajo podemos recurrir al álgebra, que es simplemente un método preciso que nos ayuda a pensar sobre tales asuntos. 

Por ejemplo: ¿Cuál es el número que al ser multiplicado por 8 y restarle 2 es igual a la mitad de ese número más 5?

El lenguaje del álgebra nos indica que: 
8x – 2 = x/2 + 5

Si multiplicamos todo por 2 tenemos:
16x – 4 = x + 10

Restando x en ambos lados:
15x – 4 = 10

Sumando 4 en ambos lados:
15x = 14

Dividiendo por 15 ambos lados:
x = 14/15

¿Alguien pudo haber adivinado tal resultado sin saber álgebra? 

Hay que recordar que difícilmente se puede pensar adecuadamente sin dominar ciertas técnicas del pensamiento. 

En otros apartados de este seminario veremos lo que es el pensamiento inductivo y deductivo; es decir, un acumular experiencia para lograr finalmente una conclusión, o al revés, partir de una idea general y concluir con una respuesta para una situación particular. El dominio de estas técnicas depende un poco de cierto entendimiento conceptual sobre tales procesos de pensamiento, pero lo más importante es practicar con ellos. Pensar es espontaneo al funcionamiento del cerebro, pensar lógicamente no siempre lo es.  

Tema 2

Explicación del tema

El pensar lógico es una forma de enfrentar lo desconocido a partir de lo conocido. Resolver un problema implica siempre manejar información de diferentes maneras, hasta encontrar la combinación adecuada que resuelva el problema.

[pic 2]Esto significa que el problema establece ciertas condiciones que deben cumplirse, y generalmente hay información que nosotros tenemos que rescatar de nuestro conocimiento previo para que, combinada con las condiciones del problema, nos pueda dar la solución. Muchas veces lo que se tiene que aportar a la solución del problema es una técnica de organización del conocimiento, como por ejemplo construir una tabla que organice toda la información, para que podamos usarla o hacer intentos de solución en forma sistemática.

Es importante resaltar que todo pensar matemático es lógico, pero no todo pensar lógico tiene que ser necesariamente matemático. Si se dice que Juan mide 1.73m y Samuel mide 1.79m, entonces Samuel es 6cm más alto que Juan, es un pensar matemático. Pero si decimos que Samuel es más alto que Juan, que Pedro es más alto que Samuel y que consecuentemente Pedro es más alto que Juan, es un pensar lógico independientemente de las cantidades específicas involucradas. Ambos son pensamientos lógicos, pero solo el primer ejemplo es pensamiento matemático estrictamente hablando.

Ejemplo:

María corre más rápido de Gabriela.
Lola corre más rápido que María.

Entonces:

Gabriela corre más rápido que Lola.

¿Es este razonamiento lógico?

Respuesta:

No es una conclusión lógica puesto que Gabriela es la más lenta de todas. Esto visto en una forma gráfica queda de la siguiente manera:

María corre más rápido que Gabriela.

[pic 3]

Lola corre más rápido que María.

[pic 4]

Gabriela, por lo tanto, no puede correr más rápido que Lola. Esta forma de razonamiento es muchas veces complicada si se realiza simplemente en la cabeza. Cuando la información se organiza adecuadamente las conclusiones son mucho más fáciles de ver. 

Otro ejemplo es el siguiente:

La edad de Paola es el doble de la edad de Tina, pero en dos años la edad de Paola será solamente cinco tercios de la edad de Tina. ¿Se está diciendo la verdad con tal información?

Esto es difícil de juzgar, a menos que se organice la información para poder juzgarla. Por ello se puede usar una tabla como la siguiente:

[pic 5]

En este momento no es el punto resolver el problema, pero puede fácilmente intuirse que una vez organizada la información es más fácil derivar conclusiones lógicas de ella.

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