Regresion logistica.

Regresión Logística.

Regresión logística

Permite modelar la relación entre una variable respuesta de naturaleza dicotómica (binaria) en   relación a una o más variables independientes o regresoras.

Consideremos el siguiente modelo simple:

Yi  β0   β1Xi   εi

Donde Y =  1 (Si tiene la característica ) ,Y= 0 (Si no)

Suponiendo que E(εi) = 0, como es lo usual, se obtiene que

E(Yi / Xi) = β0 + β1Xi

Regresión logística ,

Ahora suponiendo que pi = P(Yi = 1), es decir, la probabilidad que  el evento ocurra,  y 1 - pi   = P(Yi = 0), es decir la   probabilidad que el evento no ocurra,   la variable Y tiene una distribución Bernoulli.

Donde:

E(Yi) = 0* (1 - pi) + 1*pi = pi

Comparando las ecuaciones (1) y (2), se puede igualar

E(Yi / Xi) = β0 + β1Xi    = pi

Pero, como pi   es una probabilidad, 0   ≤ E(Yi / Xi) ≤ 1.

El modelo de regresión convencional no puede asegurar

que los valores predichos estén entre 0 y 1.

Modelo logit o modelo logistico

El modelo de regresión logística puede ser usado para predecir la probabilidad (pi) de que la variable respuesta asuma un valor determinado, por ejemplo, probabilidad de éxito (y=1) en una variable dicotómica que asume los valores 0 y 1.

De lo anterior se obtiene la siguiente relación, que sí satisface la condición de asegurar predicciones en el intervalo (0,1):

pi   E(Y

 1 | Xi )

        1 _        

1  e(β1 β2 Xi )

La ecuación representa lo que se conoce como función de

distribución logística (acumulada).

Modelo logit o modelo logistico

Para simplificar la exposición, asumiremos Zi=1+2Xi ,

de donde:

pi  

     1 _        

1 eZi

   ez _        

1 ez

Si  pi   es  la  probabilidad  éxito  (tiene  la  característica), entonces (1 – pi) es la probabilidad de no poseer dicha

característica:

1 p

       1 _        

i         1

e Zi

Por  consiguiente,  se  puede  escribir  el  cuociente  de

probabilidades a favor y en contra del éxito:

    pi _        

1 pi

1 eZi

1 e _  Zi

 eZi

[pic 1]

Esta expresión se conoce como la razón de probabilidad

a favor del éxito.

Modelo logit o modelo logistico

Si se toma el logaritmo natural a dicho cuociente, se obtiene un resultado muy interesante, a saber:

   pi      

Li   ln

  Zi

 β1  β2 Xi

 1 pi  

Note que L, el logaritmo de la razón de probabilidades a

favor y en contra del éxito, no es solamente lineal en X, sino también (desde el punto de vista de estimación) lineal en los parámetros. L es llamado logit y de ahí surge el nombre modelo logit o modelo logistico.

Para fines de estimación, se escribe de la siguiente manera:

   pi      

Li  ln

 1 pi

  β1   β2 Xi

 εi

Modelo logit o modelo logistico

Cuando  se  analiza  un  modelo  de  regresión  logística,  se

opera en forma muy similar al modelo de regresión convencional, pero hay algunos aspectos importantes a tener en cuenta:

 No se calcula R2. Una forma de saber si un modelo es mejor que otro es a través de la DEVIANZA, pero en este caso, los valores pequeños (incluso negativos) son los que indican un mejor ajuste.

 No   se   requiere   el   cumplimiento   de   supuestos   ni diagnósticos.

 Se cuenta con una tabla que presenta los valores p del estadístico  de  Wald  asociados  a  cada  predictora, permitiendo eliminar aquellas que no son significativas para el modelo hasta lograr un modelo adecuado.

Modelo logit o modelo logistico

 Se   cuenta   con   intervalos   de   confianza   para   los coeficientes.

 Se pueden obtener los residuos y los predichos.

 Hay que tener cuidado de verificar que el algoritmo ha convergido, en caso contrario, el resultado no es confiable. Esto puede deberse a multicolinealidad o a que las variables no son significativas. Conviene probar otros modelos.

 Las estimaciones puntuales de los coeficientes permiten estimar pi, condicionado a los valores de las predictoras.

Ejemplo: Se presenta a continuación un ejemplo en el que se

estudia el efecto de la edad, la pérdida de peso inicial como

%   del   peso   normal   (PPI)   y   el   sexo   (1:Masculinos,

0:Femeninos) en la sobrevida de pacientes con cáncer de pulmón evaluada a los tres meses de iniciado el tratamiento (Dra. Norma Pilnik, Hospital Tránsito Cáceres de Allende, Córdoba).

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