Regresion logistica.

Regresión Logística.

Regresión logística

Permite modelar la relación entre una variable respuesta de naturaleza dicotómica (binaria) en   relación a una o más variables independientes o regresoras.

Consideremos el siguiente modelo simple:

Yi  β0   β1Xi   εi

Donde Y =  1 (Si tiene la característica ) ,Y= 0 (Si no)

Suponiendo que E(εi) = 0, como es lo usual, se obtiene que

E(Yi / Xi) = β0 + β1Xi

Regresión logística ,

Ahora suponiendo que pi = P(Yi = 1), es decir, la probabilidad que  el evento ocurra,  y 1 - pi   = P(Yi = 0), es decir la   probabilidad que el evento no ocurra,   la variable Y tiene una distribución Bernoulli.

Donde:

E(Yi) = 0* (1 - pi) + 1*pi = pi

Comparando las ecuaciones (1) y (2), se puede igualar

E(Yi / Xi) = β0 + β1Xi    = pi

Pero, como pi   es una probabilidad, 0   ≤ E(Yi / Xi) ≤ 1.

El modelo de regresión convencional no puede asegurar

que los valores predichos estén entre 0 y 1.

Modelo logit o modelo logistico

El modelo de regresión logística puede ser usado para predecir la probabilidad (pi) de que la variable respuesta asuma un valor determinado, por ejemplo, probabilidad de éxito (y=1) en una variable dicotómica que asume los valores 0 y 1.

De lo anterior se obtiene la siguiente relación, que sí satisface la condición de asegurar predicciones en el intervalo (0,1):

pi   E(Y

 1 | Xi )

        1 _        

1  e(β1 β2 Xi )

La ecuación representa lo que se conoce como función de

distribución logística (acumulada).

Modelo logit o modelo logistico

Para simplificar la exposición, asumiremos Zi=1+2Xi ,

de donde:

pi  

     1 _        

1 eZi

   ez _        

1 ez

Si  pi   es  la  probabilidad  éxito  (tiene  la  característica), entonces (1 – pi) es la probabilidad de no poseer dicha

característica:

1 p

       1 _        

i         1

e Zi

Por  consiguiente,  se  puede  escribir  el  cuociente  de

probabilidades a favor y en contra del éxito:

    pi _        

1 pi

1 eZi

1 e _  Zi

 eZi

[pic 1]

Esta expresión se conoce como la razón de probabilidad

a favor del éxito.

Modelo logit o modelo logistico

Si se toma el logaritmo natural a dicho cuociente, se obtiene un resultado muy interesante, a saber:

   pi      

Li   ln

  Zi

 β1  β2 Xi

 1 pi  

Note que L, el logaritmo de la razón de probabilidades a

favor y en contra del éxito, no es solamente lineal en X, sino también (desde el punto de vista de estimación) lineal en los parámetros. L es llamado logit y de ahí surge el nombre modelo logit o modelo logistico.

Para fines de estimación, se escribe de la siguiente manera:

   pi      

Li  ln

 1 pi

  β1   β2 Xi

 εi

Modelo logit o modelo logistico

Cuando  se  analiza  un  modelo  de  regresión  logística,  se

opera en forma muy similar al modelo de regresión convencional, pero hay algunos aspectos importantes a tener en cuenta:

 No se calcula R2. Una forma de saber si un modelo es mejor que otro es a través de la DEVIANZA, pero en este caso, los valores pequeños (incluso negativos) son los que indican un mejor ajuste.

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