Reparto óptimo Del Combustible En Un Cohete De Dos Etapas

Título: Reparto óptimo del combustible en un cohete de dos etapas

Objetivo: Por el método de los multiplicadores de Lagrange, calcular el reparto del combustible en un cohete de dos etapas.

Marco teórico:

Como en este caso usaremos los multiplicadores de Lagrange, para poder calcular el consumo de combustible en un cohete de dos etapas, comenzaremos describiendo en que situaciones se emplea este método.

¿Qué es un extremo condicionado de f?

Es un extremo (máximo o mínimo) de la función F, cuando (x,y) vive sobre una curva del plano, g(x,y) = K, en el dominio de F. Es decir, (x,y) satisface una condición o restricción.

Método:

Sea abierto y de clase 1 en A. Sean con funciones de clase 1 en

Sea y . Supongamos que

(a) (es decir, la matriz tiene rango máximo)

(b) tiene extremo local condicionado en , es decir o bien existe un entorno de tal que para todo (máximo local condicionado), o bien existe un entorno de tal que para todo (mínimo local condicionado).

Entonces, existen unos números reales (llamados multiplicadores de Lagrange) tales que

Nota Los números son únicos.

Marco de referencia:

En este caso usaremos los multiplicadores de Lagrange en los cohetes, en particular en uno de dos etapas.

Un cohete multietapa (o multi-etapa) es un cohete que usa dos o más etapas, cada una de las cuales posee sus propios motores y propelente. Las etapas tándem o en serie se montan sobre otras etapas, mientras que las etapas paralelas se enganchan en los costados de otras etapas. El resultado son dos o más cohetes uno sobre el otro o uno junto al otro. En conjunto a estos se les denomina a veces una lanzadera espacial. Son bastante comunes las de dos etapas, aunque se han lanzado con éxito cohetes con cinco etapas. Soltando las etapas cuando se les ha agotado el propelente se consigue que la masa de lo que queda del cohete disminuya. Esta estadificación permite que el empuje de las etapas restantes lo aceleran hasta su velocidad y altura final con mayor facilidad.

La principal razón para usar cohetes multi-etapa y propulsores es que una vez se agota el carburante, la estructura y el espacio que lo contiene, y los motores mismos quedan sin uso, solo añaden peso muerto al vehículo que ralentiza su posterior aceleración. Desprendiéndose de las etapas que ya no son útiles se aligera el cohete. El empuje de las etapas posteriores es capaz de proporcionar más aceleración de la que proporcionaría si las etapas iniciales siguieran pegadas, o de la que un único cohete grande sería capaz de lograr. Cuando se suelta una etapa, el resto del cohete sigue viajando a una velocidad cercana a la que viajaba el cohete cuando la etapa se apagó. Esto significa que en total necesita menos combustible para alcanzar una velocidad y/o altitud dada/s.

Un ventaja más es que cada etapa puede usar diferentes tipos de motores afinados para sus condiciones operativas particulares. Así los motores de las etapas inferiores están diseñados para su uso a presión atmosférica, mientras que las etapas superiores pueden usar motores preparados para condiciones cercanas al vacío. Las etapas inferiores tienden a requerir más estructura que las superiores porque necesitan soportar su propio peso más el de las etapas superiores. Optimizar la estructura de cada etapa disminuye el peso total del vehículo y proporciona más ventaja.

Planteamiento del problema:

Diseñaremos un cohete de dos etapas que va a acelerar

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