Resuelva la ecuación diferencial

Resuelva la ecuación diferencial

dy/dx=y/x+x/y

Reescribiendo la ecuación diferencial obtenemos:

y^'=y/x+1/((y/x) )

Realizando el cambio de variable:

u=y/x y=ux

y^'=u+u'x

u+u'x=u+1/((u) )

u'x=1/u

du/dx x=1/u

u du=1/x dx

∫▒〖u du=〗 ∫▒〖1/x dx〗

u^2/2=ln|x|+C

u^2= 2ln|x|+2C

u=±√(2ln|x|+2C)

Realizando nuevamente el cambio de variable:

u=y/x

y/x=±√(2ln|x|+2C) 2C=K

Obtenemos como solución:

y=±x√(2ln|x|+K)

E. Resuelva la Ecuación diferencial.

x dy/dx+4y=x^4 y^2 Sujeta a y(1)=1

Estandarizando la Ecuación Diferencial y cambiando la notación de la derivada obtenemos:

y^'+(4/x)y=x^3 y^2

Notemos la presencia de y^2 en la parte derecha de la ecuación, lo cual nos indica que esta ecuación presenta la forma de una ecuación de Bernoulli la cual tiene la forma

y^'+P_((x) ) y=q_((x) ) y^n

Realizando el cambio de variable

v=y^(1-n)

en nuestro caso n=2

v=y^(-1) v^'=-y^(-2) y^' (regla de la cadena)

Multiplicando toda la ecuación diferencial por el factor -y^(-2) a ambos lados de la igualdad obtenemos:

(-y^(-2) )(y^'+(4/x)y)=(-y^(-2) )(x^3 y^2 )

-y^(-2) y^'-(4/x) y^(-1)=-x^3

Realizando el cambio de variable

v^'-(4/x)v=-x^3

Aplicando el factor integrante

Sea un factor integrante μ_((x) )=e^∫▒〖P_((x) ) dx〗

Una solución de la ecuación diferencial seria de la forma

v=(1/( μ_((x) ) ))(∫▒(q_((x) ) )( μ_((x) ) )dx)

Hallando el factor integrante para nuestra ecuación diferencial

μ_((x) )=e^∫▒〖-4/x dx〗=e^(-4ln|x| )=e^ln(x^(-4) ) =x^(-4)

Por tanto

v=(1/( x^(-4) ))(∫▒(-x^3 )(x^(-4) )dx)

v=(x^4 )(∫▒(-x^(-1) )dx)

v=x^4 (-ln(x)+C)

Restableciendo la variable inicial obtenemos

1/y=x^4 (-ln(x)+C)

y=1/(x^4 (C-ln(x)) )

Utilizando el valor inicial podemos obtener el valor de C, hallando dicho valor

y(1)=1

1=1/((1)^4 (C-ln(1)) )

1=1/C

C=1

Por tanto la ecuación diferencial con valor inicial es igual a:

y_((x) )=1/(x^4 (1-ln(x)) )

SEGUNDA ACTIVIDAD

Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 1000m3/s que vierte sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 1000 millones de m3. Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 1 de enero de 1993, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al río a razón de 1 m3/s. Suponga que el lago tiene una salida de 1000m3/s de agua bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de contaminantes en el lago después de un día, un mes (30 días), un año (365 días).

Para poder realizar este problema se debe conocer una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales, para este caso de concentración de sustancias y el método para solucionar ecuaciones diferenciales de primer orden.

Procediendo a realizar el ejercicio:

Por definición la ecuación general para mezclas en ecuaciones diferenciales tiene la forma

dQ/dt=(Razon de entrada de la mezcla)-(Razon de salida de la mezcla)

Razon de entrada de la mezcla=C_e V_e

Razon de salida de la mezcla=C_s V_s

C_s=Q_((t) )/(V_0+(V_e-V_s )t)

Dónde:

C_e=concentracion de entrada

v_e=velocidad de entrada

C_s=concentracion de salida

v_s=velocidad de salida

Q_((t) )=cantidad

...