SIMULACIÓN DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

EJERCICIO PROBABILIDAD

EJEMPLO 1 PÁGINA 8

En un departamento de control de calidad se inspeccionan las unidades terminadas que provienen de una línea de ensamble. Si la proporción de unidades defectuosas es de 0.03, Cual es la probabilidad de que la vigésima unidad inspeccionada sea la tercera que se encuentra defectuosa? Calcular la esperanza y varianza

• Primeramente, hay que entender que la Distribución Binomial Negativa tiene un numero de éxitos fijo, un numero de ensayos aleatorios y su probabilidad de éxito es constante de un ensayo a otro. Por lo tanto, este experimento se detiene cuando completa 3 éxitos.

FFFFEFFFFFFEFFFFE 

El éxito será que una unidad sea defectuosa y el fracaso que la unidad será no defectuosa

FÓRMULA

P (X = x) = f (x) =        x + r − 1  pr(1        p)x        x = 0, 1, 2, . . .

r − 1

Teniendo en cuenta el enunciado del ejemplo, X seria la proporción de unidades defectuosas hasta que la vigésima unidad inspeccionada sea la tercera.

Entonces X cuenta el número de fracasos hasta obtener el número de éxitos necesarios o X cuenta el número de unidades no defectuosas hasta obtener las 3 unidades defectuosas.

Al ser la vigésima unidad se tiene cómo referencia el número 20, pero cómo se sabe que son necesarios 3 éxitos para que el experimento finalice, entonces se valorara la probabilidad sobre las 17 unidades de ensamble no defectuosas, ya que los 3 sobrantes deben ser si o si los éxitos

X=17-----  unidades  inspeccionada que deben estar no defectuosas [pic 1]

r=3-------   Números de éxitos necesarios para que el experimento se termine [pic 2]

p= 0.03------ Probabilidad de las unidades defectuosas [pic 3]

P (X= 17) = 0.002764[pic 4]

La probabilidad de obtener 17 fracasos (unidades no defectuosas) hasta llegar a los 3 éxitos (unidades defectuosas)   es de 0.002764

Ahora calcularemos la varianza y esperanza

σ2=Var(X)= r(1−p)[pic 5][pic 6]

           =[pic 7]

La varianza del experimento es de 3233,33

         [pic 8]

                 [pic 9]

Se necesitan 97 unidades de ensamble no defectuosas para hallar la defectuosa.

Por consiguiente, son necesarias 100 inspecciones para encontrar las 3 defectuosas.

Para saber entre que intervalo podrían salir los 3 éxitos es indispensable hallar la desviación estándar para sumársela y restársela a la esperanza:

         Sd[pic 10]

               = 56.86[pic 11]

[pic 12]             

Teniendo en cuenta lo anterior se espera que el intervalo para obtener las 3 unidades de ensamble defectuosas sea entre 40 y 154 unidades de ensamble no defectuosas.

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