DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL.

3. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL.

A pesar de que la distribución Normal puede utilizarse para resolver muchos problemas en ingeniería y ciencias, existen aún numerosas situaciones que requieren diferentes tipos de funciones de densidad, tales como la exponencial y la gamma y algunas otras como la weibull, etc., etc., de momento solo trataremos sobre el uso de la exponencial.

Resulta que la exponencial es un caso especial de la distribución gamma, ambas tienen un gran número de aplicaciones. Las distribuciones exponencial y gamma juegan un papel importante tanto en teoría de colas como en problemas de confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en las instalaciones de servicio y el tiempo de falla de los componentes y sistemas eléctricos, frecuentemente involucran la distribución exponencial. La relación entre la gamma y la exponencial permite que la distribución gamma se utilice en tipos similares de problemas.

La variable aleatoria x tiene una distribución exponencial, con parámetro , si su función de densidad es:

, x  0 ; f(x) = 0 en cualquier otro caso

donde   0

La media y la variancia de la distribución exponencial son:

   y 2  2

Relación con el proceso de Poisson.

Las aplicaciones más importantes de la distribución exponencial son aquellas situaciones en donde se aplica el proceso de Poisson , es necesario recordar que un proceso de Poisson permite el uso de la distribución de Poisson. Recuérdese también que la distribución de Poisson se utiliza para calcular la probabilidad de números específicos de “eventos” durante un período o espacio particular. En muchas aplicaciones, el período o la cantidad de espacio es la variable aleatoria. Por ejemplo un ingeniero industrial puede interesarse en el tiempo T entre llegadas en una intersección congestionada durante la hora de salida de trabajo en una gran ciudad. Una llegada representa el evento de Poisson.

La relación entre la distribución exponencial (con frecuencia llamada exponencial negativa) y el proceso llamado de Poisson es bastante simple. La distribución de Poisson se desarrolló como una distribución de un solo parámetro , donde  puede interpretarse como el número promedio de eventos por unidad de “tiempo” . Considérese ahora la variable aleatoria descrita por el tiempo que se requiere para que ocurra el primer evento. Mediante la distribución de Poisson, se encuentra que la probabilidad de que no ocurran en el espacio hasta el tiempo t está dada por:

;

Ahora puede utilizarse lo anterior y hacer que X sea el tiempo para el primer evento de Poisson. La probabilidad de que el período hasta que ocurre el primer evento de Poisson exceda x es la misma que la probabilidad de que no ocurra un evento de Poisson en x. Esto último por supuesto está dado por . Como resultado,

P(X  x) =

Entonces, la función de distribución acumulada para x es:

P(0 X  x) = 1 -

Ahora, con objeto de que se reconozca la presencia de la distribución exponencial, puede derivarse la distribución acumulada anterior

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