Distribuciones de probabilidad Exponencial

Distribuciones continuas

De las distribuciones continuas que veremos, sin duda, la más importantes es la distribución Normal, sin embargo, comentare también la distribución exponencial que aunque no tiene propiamente una aplicación importante en inferencia, resulta interesante conocerla pues existen aplicaciones en ciertas áreas de estudio que justifican su estudio

• Uniforme
• Normal
• Exponencial

Nota: Existen otras distribuciones continuas que son de mucha aplicación en análisis estadísticos como la “t” de student, la “F” de Snedecor, y la Chi cuadrada (X2) pero por ser distribuciones de muestreo se verán en temas posteriores.

Como calcular probabilidades en distribuciones continúas.

Recordemos que mientras que en las distribuciones discretas, la variable toma valores discretos (únicamente enteros) debido a que son consecuencia de un conteo, en las distribuciones continuas, que son consecuencia de una medición, la variable puede tomar cualquier valor entre un rango que es el rango en donde existe la variable. Así:

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Por la misma naturaleza del tipo de dato que estamos trabajando, los valores posibles que puede tomar la variable son infinitos, por tanto, al calcular las probabilidades de ocurrencia para un valor dado de la variable la probabilidad seria:

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Por tanto, si queremos calcular probabilidades de ocurrencia para variables continuas, deberemos de preguntar en términos de intervalos de valores.

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Podemos demostrar que cuando hacemos esto, y si la distribución de probabilidad sigue un modelo matemático continúo definido por y=f(x), la probabilidad de que la variable x tome un valor entre c y d será:

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Si, por convencionalismo establecemos que el área total bajo la función corresponde a la unidad (100%), por tanto, la probabilidad de que la variable x tome un valor entre c y d será la proporción que del área total sea el área bajo la función entre los puntos c y d.

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Distribución Uniforme

La distribución uniforme es útil para describir una variable aleatoria con probabilidad constante sobre el intervalo [a, b] en el que está definida. Esta distribución presenta una peculiaridad importante: la probabilidad de un suceso dependerá exclusivamente de la amplitud del intervalo considerado y no de su posición en el campo de variación de la variable.

Valores:                                 a ≤ x ≤ b

Parámetros:                a: mínimo del recorrido,         b: máximo del recorrido

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Distribución Normal

La distribución Normal es, sin duda, la distribución de probabilidad más importante del Cálculo de probabilidades y de la Estadística. Fue descubierta por De Moivre (1773), como aproximación de la distribución binomial. De todas formas, la importancia de la distribución Normal queda totalmente consolidada por ser la distribución límite de numerosas variables aleatorias, discretas y continuas, como se demuestra a través de los teoremas del límite central. Las consecuencias de estos teoremas implican la casi universal presencia de la distribución Normal en todos los campos de las ciencias empíricas: biología, medicina, psicología, física, economía, etc.

Junto a lo anterior, no es menos importante el interés que supone la simplicidad de sus características y de que de ella derivan, entre otras, tres distribuciones (Ji-cuadrado, t y F)

que se mencionarán más adelante, de importancia clave en el campo de la contrastación de hipótesis estadísticas.

Así entonces, la distribución Normal es importante tanto en estadística teórica como en estadística aplicada porque:

• La naturaleza la manifiesta: La distribución normal suele coincidir con las distribuciones de frecuencia observadas de muchas mediciones naturales y físicas. Podemos generalizar diciendo que siempre que tengamos observaciones repetidas “de lo mismo” tendremos un comportamiento normal.
• Se aproxima a la binomial cuando n es grande: Si el modelo binomial es una estructura que aparece en inferencia estadística para datos cualitativos, y el modelo normal, que es muy importante, se le aproxima bajo ciertas condiciones, esto nos permitirá resolver problemas que tengan esta condición de manera mas sencilla que si los trabajáramos con el modelo binomial.
• El teorema del límite central lo presenta como un modelo al cual varias distribuciones de muestreo se le asemejan.

Características de una curva normal:

• La curva normal tiene forma de campana
• Es suave
• Es unimodal
• Es Simétrica)

Modelo matemático: De manera empírica podemos saber que la función siguiente se ajusta bastante bien a la naturaleza del comportamiento de las variables que presentan en su comportamiento una distribución normal

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El anterior modelo define a una familia de curvas normales que están, cada una, definidas por los valores de µ y σ

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Una vez que aceptamos que el modelo matemático propuesto se ajusta bien a los casos reales de manifestación de curva normal en variables, podemos observar del mismo que además de las características señaladas anteriormente podemos observar las siguientes:

• La función es simétrica con respecto a la media de la distribución
• Se extiende de -∞ a +∞
• Los parámetros que la definen son su media y su desviación estándar. Existe una distribución normal diferente para cada combinación de media y desviación estándar
• En una distribución normal, la desviación estándar queda a una distancia igual a la existente entre la media y el punto de inflexión de la curva.
• Es constante en sus proporciones: La proporcionalidad existente en toda curva normal es constante. Esta peculiaridad nos permite encontrar formas simples de trabajar con ella.

Proporcionalidad de una curva Normal.

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La distribución Normal estandarizada.

El hecho de que la función Normal presente como característica el que sea constante en sus proporciones, nos permite simplificar el uso de la distribución Normal. Podemos crear una distribución normal de referencia contra la cual toda curva normal sea traducida a fin de simplificar su solución. La distribución normal de referencia se conoce como distribución normal estandarizada y es una curva normal cuya media es igual a cero y cuya desv. std. es igual a uno. Con esta distribución estandarizada se pueden calcular todas las probabilidades que sean necesarias para una curva normal, creándose la “tabla de áreas bajo la curva normal” la cual nos será útil pues simplificaremos el uso de la distribución normal. La variable estandarizada la tipificaremos como “z” y asi, todo valor de x en una variable normal real será traducida a su correspondiente valor “z” a fin de simplificar los cálculos.

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