SOLUCION NUMERICAY SISTEMA DE ECUAICONES DIFERENCIALES

MATERIA:

ANALISIS NUMERICO

CATEDRATICO:

ING. ALONSO LANDERO DE LA CRUZ

ALUMNO:

LUIS GUSTAVO GOMEZ VELAZQUEZ

CARRERA:

ING. PETROLERA

TRABAJO:

PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS UNIDAD VI

SEMESTRE: GRUPO:

“3°” ”A”

TURNO:

MATUTINO

CARRETERA NACAJUCA JALPA, A

INDICE

TEMA………………………………………………………………………………………………….N° DE PAGINA

INTRODUCCION……………………………………………………………………………………………………..………….3

SOLUCION NUMERICAY SISTEMA DE ECUAICONES DIFERENCIALES………..………………4

6.1 METODO DE LA SERIE DE TAYLOR……………………………………………………………………………4

6.2 MÉTODO DE EULER Y EULER MEJORADO………………………………………………………………6

6.3 MÉTODO DE RUNGE-KUTTA……………………………………………………………………………………11

6.4 SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON VALORES INICIALES y 6.5 APLICACIONES……………………………………………………………………14

CONCLUSION……………………………………………………………………………………………………………………23

BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………………………………………………………..24

INTRODUCCION

La solución numerica y los sistemas de ecuaciones es uno de los temas muy amplios en la materia del análisis numérico ya que por su gran importancia es uno de los temas en los cuales se hace uso de métodos de resolución de problemas, métodos que si no son llevados a cabo con la expectativa eficaz su comprensión se hace un poco lenta, por ello el propósito del trabajo.

UNIDAD 6: SOLUCION NUMERICAY SISTEMA DE ECUAICONES DIFERENCIALES.

6.1 METODO DE LA SERIE DE TAYLOR

Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas, en un intervalo que contiene a y x, entonces el valor de la función esta dado por:

Con frecuencia es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un paso h = xi+1 - xi expresando la serie de Taylor como:

Uso de la expansión en serie de Taylor para aproximar una función con un número infinito de derivadas.

Utilizar los términos de la serie de Taylor con n= 0 hasta 6 para aproximar la función f(x) = cos(x) en xi+1 = π/3 y sus derivadas en xi = π /4. Esto significa que h = π /3- π /4 = π /12, los valores de las derivadas y el error de aproximación se presenta en la siguiente tabla.

Orden n fn(x) fn(p/4) error (%)

0 cos(x) 0.707106781 -41.4

1 -sen(x) 0.521986659 -4.4

2 -cos(x) 0.497754491 0.449

3 sen(x) 0.499869147 2.62x10-2

4 cos(x) 0.500007551 -1.51x10-3

5 -sen(x) 0.500000304 -6.08x10-5

6 -cos(x) 0.499999988 2.40x10-6

Note, que a medida que se introducen más términos, la aproximación se vuelve más exacta y el porcentaje de error disminuye. En general podemos tener una aproximación polinomial de la función coseno, con sus derivadas en cero dada por

Orden n fn(x) fn(0)

0 cos(x) 1

1 -sen(x) 0

2 -cos(x) -1

3 sen(x) 0

4 cos(x) 1

5 -sen(x) 0

6 -cos(x) -1

7 sen(x) 0

8 cos(x) 1

9 -sen(x) 0

10 -cos(x) -1

La aproximación polinomial final queda:

Uso de la serie de Taylor para estimar errores de Truncamiento.

La serie de Taylor es muy útil para hacer la estimación de errores de truncamiento. Esta estimación ya la realizamos en los ejemplos anteriores. Recordemos que la serie de Taylor la podemos representar como:

Ahora, truncando la serie después del término con la primera derivada, se obtiene:

Despejando el valor de v’, tenemos:

El primer término de la ecuación represente la aproximación de la derivada y el segundo el error de truncamiento. Note que el error de truncamiento se hace más pequeño a medida que ti+1 – ti (incremento) se hace pequeño. Así que podemos hacer una buena aproximación de derivadas utilizando el primer término, siempre y cuando se utilicen incrementos pequeños.

6.2 MÉTODO DE EULER Y EULER MEJORADO.

METODO DE EULER

Este método se aplica para encontrar la solución a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), esto es, cuando la función involucra solo una variable independiente:

El método se basa de forma general en la pendiente estimada de la función para extrapolar desde un valor anterior a un nuevo valor:

Nuevo valor = valor anterior + pendiente x tamaño de paso

O bien,

(1)

De esta manera, la formula anterior, se aplica paso a paso para encontrar un valor en el futuro y así trazar la trayectoria de la solución. La figura 1, muestra el procedimiento aplicado con la ecuación anterior.

El método de Euler utiliza la pendiente al inicio del intervalo como una aproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en xi.

F(xi ,yi ),es la ecuación diferencial evaluada en xi y yi. Sustituyendo esta estimación de la pendiente en la ecuación (1), se tiene:

(2)

La ecuación (2), se le conoce como el método de Euler. En esta formula se predice un nuevo valor de y por medio de la pendiente que es igual a la primera derivada en el valor original de x, este nuevo valor habrá de extrapolarse en forma lineal sobre el tamaño de paso h.

MÉTODO DE EULER MEJORADO

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.

La fórmula es la siguiente:

Donde

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:

En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la “recta tangente” a la curva en el punto , donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto como la aproximación de Euler mejorada.

Ejemplo1

Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar si:

Solución

Vemos que este es el mismo ejemplo 1 del método anterior. Así que definimos y encontraremos la aproximación después de cinco iteraciones. A diferencia del método de Euler 1, en cada iteración requerimos de dos cálculos en vez de uno solo: el de primero y posteriormente el de .

Para aclarar el método veamos con detalle las primeras dos iteraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales:

En nuestra primera iteración tenemos:

Nótese que el valor de coincide con el (Euler 1), y es el único valor que va a coincidir, pues para calcular se usará y no .

Esto lo veremos claramente en la siguiente iteración:

Nótese que ya no coinciden los valores de (Euler 1) y el de . El proceso debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n

0 0 1

1 0.1 1.01

2 0.2 1.040704

3 0.3 1.093988

4 0.4 1.173192

5 0.5 1.28336

Concluimos entonces que la aproximación obtenida con el método de Euler mejorado es:

Con fines de comparación, calculamos el error relativo verdadero:

Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este método, reduciendo el error relativo verdadero de un 5.4% hasta un 0.05%. En nuestro tercer método veremos cómo se reduce aún más este error prácticamente a un 0%!

6.3 Método de Runge-Kutta

El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente

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