Sistemas de ecuaciones diferenciales
Enviado por OFOR27 • 2 de Septiembre de 2017 • Documentos de Investigación • 4.557 Palabras (19 Páginas) • 542 Visitas
TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
ECUACIONES DIFERENCIALES
INVESTIGACION IV
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES.
NOMBRE DEL ALUMNO:
APELLIDO PATERNO | APELLIDO MATERNO | NOMBRE |
OROZCO | RAMIREZ | OSCAR FRANCISCO |
CARRERA: INGENIERIA ELECTRONICA.
GRUPO: 41S.
SALON: M2.
SEMESTRE: ENERO-JUNIO 2017
FECHA DE ENTREGA: 8 DE JUNIO DE 2017.
INDICE
4.-SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. 2
4.1.-TEORIA PRELIMINAR. 2
4.1.1.-SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES. 2
4.1.2.-SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS. 3
4.1.3.-SOLUCIÓN GRAL. Y SOLUCIÓN PARTICULAR DE SISTEMAS DE E.D.L. 4
4.2.-MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA SISTEMAS DE EDL. 4
4.2.1.-METODO DE ELIMINACION. 4
4.2.2.-METODO DE VALORES CARACTERISTICOS. 8
4.2.3.-METODO MATRICIAL. 11
4.2.4.-METODO DE COEFICIENTES INDERTEMINADOS. 21
4.2.5.-METODO DE VARIACION DE PARAMETROS. 21
4.3.-METODO DE LOS OPERADORES. 26
4.4.-UTILIZANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE. 29
4.5.-APLICACIONES. 33
4.-SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES.
4.1.-TEORIA PRELIMINAR.
Existen muchas aplicaciones en la vida real que no se modelan a través de una sola ecuación diferencial. Muchos sistemas dinámicos tienen asociado un modelo matemático formado por más de una de ellas, por ejemplo, un sistema de dos o más resortes, los circuitos formados por varias mallas, dos o más péndulos acoplados, etcétera.
Un sistema de ecuaciones diferenciales (SED) es un conjunto de dos o más ecuaciones diferenciales que pueden tener un conjunto de funciones como soluciones comunes de cada ecuación del sistema.
4.1.1.-SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES.
Se dice que un sistema de ecuaciones diferenciales es lineal si cada ecuación individual del sistema lo es. Se dice que un sistema es no lineal incluso si una sola ecuación incluye un solo término no lineal.
Ejemplo 1:
[pic 1]
[pic 2]
[pic 3]
Este es un SED no lineal puesto que el termino -3xy de la ED perteneciente a la es un termino no lineal.[pic 4]
Ejemplo 2:
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
Este es un SED lineal puesto que todas la ED pertenecientes a dicho sistema son lineales.
Es decir, un sistema de ecuaciones lineales no puede incluir ninguna función no lineal de ninguna de las variables dependientes.
Un sistema lineal de dos ecuaciones puede expresarse en la forma general como:
[pic 8]
[pic 9]
Observe que un sistema lineal no incluye ninguna función no lineal (potencias, productos o funciones transcendentales) de las variables dependientes ni de sus derivadas como son: .[pic 10]
Finalmente, se dice que un sistema de ecuaciones diferenciales tiene coeicien- tes constantes si cada ecuación del sistema en la forma estándar tiene coeficientes constantes.
Se dice que el sistema tiene coeficientes variables incluso si una sola ecuación incluye un solo coeiciente variable (una función de la variable independiente).
4.1.2.-SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS.
Se dice que un sistema lineal de ecuaciones diferenciales es homogéneo si cada ecuación individual del sistema lo es; y que el sistema es no homogéneo incluso si una sola ecuación incluye un solo término no homogéneo.
Ejemplo 1:
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
Este es un SED no homogeneo, puesto que en la ultima ED contiene un termino no homogeneo, en este caso dicho termino es 3t.
Ejemplo 2:
[pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
Este es un SED homogeneo puesto que no existe ningun termino no homogeneo en ninguna de las tres ED presentes en dicho sistema.
Un sistema de ecuaciones diferenciales homogeneas puede definirse como:
[pic 17]
[pic 18]
A diferencia de la forma general, aquí se presisa la falta del termino R(t), puesto que ese es el termino no homogeneo.
4.1.3.-SOLUCIÓN GRAL. Y SOLUCIÓN PARTICULAR DE SISTEMAS DE E.D.L.
La solución general está dada por:
[pic 19]
[pic 20]
Y la solución particular estará dada por las condiciones iniciales que se presenten.
En caso de haber otra variable será igual a las anteriores.
4.2.-MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA SISTEMAS DE EDL.
Existen varios métodos para llegar a la solución entre ellos:
4.2.1.-METODO DE ELIMINACION.
El método de eliminación es el más sencillo y elemental para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. Se basa en convertir un sistema de ecuaciones diferenciales en una sola ecuación de orden superior con una sola variable dependiente, mediante la eliminación de todas las demás variables dependientes, una por una.
Ahora considere un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes en las variables dependientes x y y.
[pic 21]
[pic 22]
Despejando y de la primera ecuación y diferenciándola con respecto a la variable independiente t obtenemos:
[pic 23]
[pic 24]
Sustituyendo ahora estas relaciones para y y en la segunda ecuación diferencial.[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
Que es una ecuación lineal de segundo orden con coeicientes constantes. Esta ecuación puede resolverse usando los procedimientos ya sabidos. El polinomio característico de la ecuación homogénea asociada es:
...