Series De Fourier
Enviado por jhonn3y • 26 de Noviembre de 2012 • 464 Palabras (2 Páginas) • 732 Visitas
Metodo de resolución de una ecuación de vibraciones de un acuerda.
Ecuacion de Fourier.
v²((∂²u)/(∂x²))=((∂²u)/(∂t²)) (1)
Condiciones del ejercicio.
u(0,t)=0 (2)
u(l,t)=0 (3)
u(x,0)=f(x) (4)
((∂u)/(∂t))_{t=0}=ϕ(x) (5)
Buscar la solución particular de la ecuación, que satisfaga las condiciones de contorno (2 y 3) en forma de un producto de dos funciones X(x) y T(t)
u(x,t)=X(x)T(t) (6)
Reemplazando las debidas derivadas parciales tenemos
((T´´)/(v²T))=((X´´)/X)
Se iguala a una constante en nuestro caso será -λ
((T´´)/(v²T))=((X´´)/X)=-λ
De estas igualdades se obtiene dos ecuaciones
X´´+λX=0
T´´+v²λT=0
por lo tanto las soluciones generales son:
X(x)=Acos[2]√(λ)x+Bsin[2]√(λ)x
T(x)=Ccos v[2]√(λ)x+Dsin v[2]√(λ)x
Si sustituimos estas soluciones generales en (6) tenemos:
u(x,t)=(Acos[2]√(λ)x+Bsin[2]√(λ)x)(Ccos v[2]√(λ)x+Dsin v[2]√(λ)x)
Se escoge las constantes necesarias para que cumplan las
condiciones planteadas por el ejercicio.
0=Av+B(0)
0=Acos[2]√(λ)x+Bsin[2]√(λ)x
Al igualar las constantes se obtiene que :
sin[2]√(λ)x=0
De igual manera se asigna valores a λ de manera tal que siga
cumpliendo las condiciones.
[2]√(λ)=((nπ)/l) (n=1,2,3,....)
X=Bsin((nπ)/l)x
Se aprovecha la ecuación T(t) y se coloca valores a [2]√(λ)
T(t)=Ccos((vnπ)/l)t+Dsin((vnπ)/l)t
...