Serie De Fourier

Marco Teórico

Ecuaciones Diferenciales Parciales

Las ecuaciones diferenciales parciales (EDP), igual que las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), se clasifican en lineales y no lineales. Así como en las EDO (consulte la ecuación (6) de la sección 1.1), en una EDP lineal la variable dependiente y sus derivadas parciales aparecen sólo en la primera potencia. En este capítulo, y en los subsecuentes, nuestro interés se centrará solamente en ecuaciones diferenciales parciales lineales.

Ecuación diferencial parcial lineal Si establecemos que u denota la variable dependiente xy la variable independiente y, entonces la forma general de una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden está dada por

Donde los coeficientes A,B,C,…,G son constantes o funciones de xy de y. Cuando G(x,y)=0, se dice que la ecuación (1) es homogénea; de otra forma, es no homogénea. Por ejemplo, las ecuaciones lineales

Son homogénea y no homogénea, respectivamente.

Solución de una ecuación diferencial parcial lineal (1) es una función u(x,y) de dos variables independientes que tienen todas las derivadas arciales concurriendo en la ecuación y que la satisface en alguna región del plano xy. No es nuestra intención analizar procedimientos para encontrar soluciones general es e las ecuaciones diferenciales parciales lineales. A menudo no solamente es difícil obtener la solución general de una EDP lineal de segundo orden, sino que una solución general con frecuencia tampoco resulta muy útil en las aplicaciones. Por lo tanto, nos enfocaremos en determinar soluciones articulares de algunas EDP lineales importantes, es decir, ecuaciones que aparecen en un gran número de aplicaciones.

Series de Fourier

Se dice que la serie trigonométrica con coeficientes a0,an y bn se conoce como serie de Fourier de la función f. Los coeficientes obtenidos se conocen como coeficientes de Fourier de f. Para calcular los coeficientes a0,an y bn, se supone que f era integrable en el intervalo y de la función, así como la serie obtenida al multiplicar por cos (mπx/p), convergía de tal manera que permite la integración término por término. Hasta que se demuestre que es convergente para una función f dada, el signo de igualdad no se tomará en sentido estricto o literal. En algunos textos se utiliza el símbolo ~ en lugar de =. En vista de que la mayoría de las funciones incluidas en las aplicaciones son de un tipo que garantiza la convergencia de la serie, aquí utilizaremos el símbolo de igualdad.

Método de Superposición

El Método de superposición sólo se puede utilizar en el caso de circuitos eléctricos lineales, es decir circuitos formados únicamente por componentes lineales (en los cuales la amplitud de la corriente que los atraviesa es proporcional a la amplitud de voltaje a sus extremidades). El teorema de superposición ayuda a encontrar:

Valores de voltaje, en una posición de un circuito, que tiene más de una fuente de voltaje.

Valores de corriente, en un circuito con más de una fuente de voltaje.

Este teorema establece que el efecto que dos o más fuentes tienen sobre una impedancia es igual, a la suma de cada uno de los efectos de cada fuente tomados por separado, sustituyendo todas las fuentes de voltaje restantes por un corto circuito, y todas las fuentes de corriente restantes por un circuito abierto. Por ejemplo, si el voltaje total de un circuito dependiese de dos fuentes de tensión:

Serie de Bessel

Son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel:

Donde α es un número real o complejo. El caso más común es cuando α es un entero n, aunque la solución para α no enteros es similar. El número α se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas

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