SERIE DE FOURIER

1.- Serie de Fourier

Definición

Es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).

Condición de existencia

Si f (t) es continua por tramos en el intervalo [0,oo) y de orden exponencial c para t>T, entonces L {f(t)} existe para s>c.

Demostración:

La integral existe, porque se puede expresar como una suma de integrales sobre intervalos en que es continua. Ahora

Cuando s>c. Como converge, la integral

converge, de acuerdo con la prueba de comparación para integrales impropias. Esto a su vez, implica que existe para s>c. La existencia de e implica que existe cuando s>c.

2.- Relación de Ortogonalidad

Se puede usar la fórmula del sumatorio para probar una relación de ortogonalidad:

donde δ es la delta de Kronecker.

Las raíces n-ésimas de la unidad se pueden usar para formar una matriz n x n cuyo elemento Ai,j es

De lo anterior, las columnas de esta matriz son ortogonales y por tanto es unitaria. De hecho, esta matriz es precisamente la transformada de Fourier discreta (aunque varían la normalización y la convención de signos).

Las raíces n-ésimas de la unidad forman una representación irreducible de cualquier grupo cíclico de orden n. La relación de ortogonalidad se obtiene de los principios de teoría de grupos descritos en el grupo de caracteres.

Las raíces de la unidad aparecen en los autovectores de las matrices hermitianas (por ejemplo, de la laplaciana discretizada unidimensional con límites periódicos), de los que se obtiene también la propiedad de ortogonalidad (Stran, 1999).

3.- Periodo de funciones

Una función es periódica si cumple la condición de periodicidad, es decir, si después de cada cierto intervalo de tiempo o espacio constante, llamado periodo, la función adquiere el mismo valor de partida.

Función impar:

Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio

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