Series De Fourier

Contenidos:

⦁ Objetivos general y particular

⦁ Introducción al tema

⦁ Breve biografía de Jean-Baptiste Joseph Fourier

⦁ Series de Fourier

⦁ La onda cuadrada

⦁ Grafica de la onda cuadrada con series de Fourier

⦁ Espectro de frecuencia

⦁ Filtros electrónicos

⦁ Referencias

Objetivo general

Presentar la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes (series de Fourier)

Objetivo particular

Mostrar la representación grafica de la onda cuadrada mediante la serie de Fourier así como algunos antecedentes y la explicación matemática tras estos métodos.

Introducción

La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediante modelos matemáticos. La matemática aplicada es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar y aplicar las herramientas más adecuadas a los problemas basados en estos modelos. Desafortunadamente, no siempre es posible aplicar métodos analíticos clásicos por diferentes razones:

⦁ No se adecúan al modelo concreto.

⦁ Su aplicación resulta excesivamente compleja.

⦁ La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier interpretación posterior.

⦁ Simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar soluciones al problema.

En estos casos son útiles las técnicas numéricas, que mediante una labor de cálculo más o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son siempre numérica.

Jean-Baptiste Joseph Fourier

(21 de marzo de 1768 - 16 de mayo de 1830 )

M

atemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor.

Estudió con los benedictinos en la Escuela Superior de Auxerre, pero abandonó su destino monástico para dedicarse al estudio de las ciencias.

Participó en la revolución francesa y, gracias a la caída del poder de Robespierre, se salvó de ser guillotinado. Se incorporó a la Escuela Normal Superior de París en donde tuvo entre sus profesores a Joseph-Louis Lagrange y Pierre Simon Laplace. Posteriormente, ocupó una cátedra en la Escuela Politécnica.

Entró a la Academia de Ciencias Francesa en 1817 y al cabo de cinco años se convirtió en el secretario perpetuo de las secciones de matemáticas y física.

Fue en Grenoble donde condujo sus experimentos sobre la propagación del calor que le permiten modelar la evolución de la temperatura a través de series trigonométricas. Estos trabajos mejoraron el modelado matemático de fenómenos físicos y contribuyeron a los fundamentos de la termodinámica.

Sin embargo, la simplificación excesiva que proponen estas herramientas fue muy debatida, principalmente por Pierre-Simon Laplace y Joseph-Louis Lagrange.

Redacta el prefacio histórico de la obra Description de l'Egypte y publica en 1822 su célebre Théorie analytique de la chaleur (Teoría analítica del calor). Seguidor de la teoría matemática de la conducción del calor. Estableció la ecuación diferencial parcial que gobierna la difusión del calor solucionándolo por el uso de series infinitas de funciones trigonométricas.

Otro trabajo importante de J. Baptiste J. Fourier fue en el método de eliminación para la solución de un sistema de desigualdades, teoría muy usada actualmente para programación lineal

Muere en París el 16 de mayo de 1830.

series de Fourier

U

na serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes).

Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinodales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).

El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor.

En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo.

Donde a0 an y bn se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función

Otra forma de definir la serie de Fourier es:

Donde y

siendo :

a esta forma de la serie de Fourier se le conoce como la serie trigonométrica de Fourier.

La onda cuadrada

S

e

...