Series De Fourier

APLICACIONES DE LAS SERIES DE FOURIER EN LA INGENIERIA

Abstract -

La necesidad de representar señales en conjuntos de familias comunes de funciones características ha sido un tema de total interés e importancia para el procesamiento y análisis de fenómenos físicos, tanto de carácter determinístico como de carácter probabilístico, con los que diariamente convivimos. Las series de Fourier, son casos particulares de conjuntos de funciones ortogonales que permiten la representación de la señal original a través de un conjunto de familia de funciones características en forma exponencial compleja, o en un caso más particular, en forma trigonométrica (para representar funciones de carácter estrictamente reales). [1]

La presente exposición propende entonces por la comprensión de la misma a través de una revisión bibliográfica sobre la temática a desarrollar y sus aplicaciones.

Introducción

Las series de Fourier son una herramienta para analizar una señal periódica describiéndola como una combinación de funciones armónicas. Esta herramienta se utiliza en el campo del análisis de señales al establecer la relación entre tiempo y frecuencia. [2] Es así como la idea básica de las series de Fourier es que toda función periódica de período T puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo período T. [3]

Las series de Fourier son de gran utilidad en diversas ramas de la ingeniería, constituyéndose además en una herramienta de suma importancia en la teoría matemática abstracta. Dentro de las áreas de aplicación de la misma se encuentran: análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. [4]

En esta oportunidad, se realizará una investigación acerca de las Series de Fourier, buscando así comprender su importancia a través de las aplicaciones que esta posee.

Objetivo General:

Construir un marco teórico general referente a la temática Series de Fourier y sus aplicaciones.

Series de Fourier

En 1811, el matemático Jean Baptiste Fourier demostró que cualquier señal periódica razonable puede expresarse como la suma de una o más sinusoides de distinta frecuencia, fase y amplitud. Se entiende por una señal razonable, una que posee valores máximos menores que infinito y un número finito de saltos en un período. Estas sinusoides están armónicamente relacionadas entre sí, es decir, sus frecuencias son múltiplos enteros de una frecuencia fundamental. Esta suma ponderada de señales sinusoidales se conoce como “Serie de Fourier” [5], éstas permiten expresar señales periódicas como combinación lineal de exponenciales complejas.

La importancia de la serie de Fourier, radica en que permite determinar tanto la amplitud y fase de cada una de las componentes de frecuencia que tiene una señal. Para señales periódicas se utilizan las series de Fourier, mientras que para señales no periódicas se usa la Transformada de Fourier. Esta última, se utiliza para calcular la expresión del dominio de la frecuencia, a partir del dominio del tiempo y viceversa. [6] La transformada de Fourier también permite analizar cómo cambia la amplitud y fase de una señal sinusoidal pura cuando pasa a través de un sistema lineal e invariante en el tiempo. Siendo su fórmula:

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función [7]

Si es una función (o señal) periódica y su período es , la serie de Fourier asociada a es:

Donde , y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Otra forma de expresar la forma compleja de la serie de Fourier es:

Donde:

,

Aplicaciones del análisis de Fourier:

Las aplicaciones de las series de Fourier se encuentran expresadas en la generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas. Así como también en el Análisis del comportamiento armónico de una señal, en el reforzamiento de señales, y de igual manera, en el estudio de la respuesta en el tiempo de una variable

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