Series De Fourier

SERIES DE FOURIER

Una serie trigonométrica es una serie de la forma:

1/2 a_0+a_1 cos⁡〖πx/l〗+b_1 sen πx/l+⋯+a_n cos⁡〖nπx/l〗+b_n sen nπx/l+⋯, (1)

Donde los coeficientes a_n y b_n son constantes. Si estas constantes satisfacen ciertas condiciones, entonces la serie se llama serie de Fourier.

Se dice que una función f es periodica con periodo T si el dominio de f contiene a x+T siempre que contenga a x y si f(x+T)=f(x) por todo valor de x. Por lo tanto se deduce que si T es un periodo de f, entonces 2T también es un periodo y de hecho, lo es cualquier múltiplo entero de T.

El valor positivo más pequeño de T, se llama periodo fundamental de f. Para cualquier función periódica no constante, el periodo fundamental está definido de modo único y todos los demás periodos son múltiplos de él.

Las funciones sen ( nπx⁄l) y cos ( nπx⁄l), m=1,2,3,… , son periodicas con periodo fundamental T=2l⁄m. Además cada función tiene el periodo 2l.

Suponga que f es una función definida en el intervalo [–l,l] y que se puede desarrollar en una serie ortogonal formada por las funciones trigonométricas; es decir,

f(x)=a_0/2+∑_(n=1)^∞▒(a_n cos⁡〖nπx/l〗+b_n sin⁡〖nπx/l〗 )

Los coeficientes a_n y b_n pueden relacionarse con f(x) como consecuencia de las condiciones de ortogonalidad, y están definidas por las siguientes ecuaciones.

a_0=1/l ∫_(-l)^l▒f(x)dx

a_n=1/l ∫_(-l)^l▒〖f(x)cos⁡(nπx/l)dx〗

b_n=1/l ∫_(-l)^l▒〖f(x)sen⁡(nπx/l)dx〗

Un hecho interesante y útil, frecuentemente usado como una comprobación en problemas numéricos, es que 1/2 a_0 es el promedio de f(x) sobre el intervalo -l<x<l.

Por otro lado, nótese que la convergencia tiende al valor promedio de las discontinuidades, la periodicidad y la forma en que las dos juntas determinan el valor al que la serie converge en x=l y x=-l.

SERIES DE FOURIER DE SENOS Y COSENOS

El esfuerzo que se invierte en la evaluación de las integrales definidas que calculan los coeficientes a_0, a_n y b_n al desarrollar una función f en una serie de Fourier se reduce significativamente cuando f es una función par o impar.

Recuerde que la función f es:

Par si f(-x)=f(x)

Impar si f(-x)=-f(x)

En un intervalo simétrico tal como (-l,l), la gráfica de una función par tiene simetría con respecto al eje y, mientras que la de una función impar tiene simetría respecto al origen.

A continuación se enlistan propiedades de funciones pares e impares.

El producto de dos funciones pares es par.

El producto

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