Sistemas de Ecuaciones.

Sistemas de Ecuaciones

Es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

Método de reducción

Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

Se resuelve la ecuación resultante.

El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

2x-5y=-14

3x+4y=25

-5y=-20 2(3)-5y=-14

2x-5y=-14 (4)

3x+4y=25 (5)

8x-20y=-56

15x+20y=125

23x=69

Ecuación Cuadrática

Se determina que es una ecuación cuadrática por que el mayor grado que posee la incógnita es de 2.

x^2+5x=6

x^2+5x-6=0

(X +3)(X +2)=0

X1=-3

X2=-2

Segmentos

es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos, llamados puntos extremos o finales.

A B C

En los ejercicios de segmentos podemos encontrar Hipótesis (H) y Tesis (T).

Hipótesis también se los puede conocer como datos o premisas las cuales mediante un método tenemos que llegar a la Tesis.

H) AM=MB PM=MB+PB

T) 2PM=PA+PB PM=PA-AM

H) AC+BD= 14, AD= 11

T)BC=?

AC+ BD = 14

AD = 11

AD = AB +BC + CD

AC = AB+ BC

BD = BC + CD

AD = AC –BC +BC+ BD- BC

AD = AC + BD –BC

11= 14 –BC

11 -14 = -BC

-3= -BC

BC = 3

H) AM= AB+ AC, AB=BC, AM=MD

AC+ CM = AB +AC T) CD= 2AC

CM =AB

CD= 2(AD+BC)

CD=2(2AB)

CD =4AB

CD= AC

BF= 3/2CE

2BF= 3CE

2(DC +BC + BC+ DE +EF) =3(CD +DE)

6DC+2DE+2EF= 6DC +3DE

DE=2EF

Dado los puntos coloniales A, B, C, D, E y F. Si AB=BD, BC=CE. DE= EF Y BD-EF=6. Calcular CD

BD- EF=6

BD=6 + EF

BC +CD= 6+ EF

CD= 6+ EF-BC

CD= 6+DE-(CD+DE)

CD=6 +DE-CD-DE

3CD=6

CD= 3

Ángulos

A =vértice

∡A = Angulo

Teorema: proposiciones que requieren ser demostradas

Axioma: verdades tan evidentes que no requieren ser demostradas, equivalente al elemento.

a=a

Postulado: proposiciones verdaderas que no tienen el mismo grado de evidencia que un axioma, pero tampoco requiere ser demostrado.

Sistema sexagesimal

¿Cuántos grados son 7л/3 rad?

180° л rad

X 7л/3 rad

X=(180°.7л/3 rad )/( лrad)

X= 420

л74 rad ?

180° л rad

X л/4 rad

X= (180°.л/4 rad )/( лrad)

X= 45°

60° ?

180° л rad

60° x

X=(60.лrad )/( 180)

X= 1/3л

3л/2 ?

180° л rad

X 3л/2

X= (180.3л/2rad )/( л)

X=270

30° ?

180° л rad

30° x

X=(30.лrad )/( 180)

X= л/6

Tipos de ángulos

Agudo ≤ 90°

Recto 90°

Obtuso A ≤90° ∡ ≤180°

C B

Llano 180°

A B

Complementario A ∡1 + ∡2 = 90

O B

Suplementario P ∡1 + ∡2 =180

A B

Adyacente

A ∡1 ∡2

B C

∡1 y ∡2 adyacentes

Bisectriz: es una recta que corta el Angulo en 2 partes iguales

A B

∡1 ∡2

O C

Postulado

A B

Postulado

X + 70 = 180

X= 180 -70

X= 110

Teorema 1

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes

∡1 ∡2

Si Angulo 1 es opuesto por el vértice con Angulo 2 entonces ∡1=∡2

∡1+∡2 =180

∡𝛼+∡2 = 180

-∡𝛼-∡2=-180

∡1-∡2= 0

∡1=∡2

Teorema 2

Las bisectrices de dos ángulos suplementarios son perpendiculares entre si

Demostración

H) OD bisectriz de ∢AOB

OE bisectriz de ∢COB

T) ∢ EOD = 90º

∢ 1 + ∢ 1 + ∢ 2 + ∢ 2 = 180º Postulado

2 (∢ 1 + ∢ 2 ) =180º

∢ 1 + ∢ 2 = 90º

∢ Eod = 90º

Teorema 3

Las bisectrices de los ángulos opuestos por el vértice son coloniales

Demostración

H) OE bisectriz de ∢AOB

OF bisectriz de ∢COB

T) ∢ EOF = 180º

2 ∢ 1 + ∢ 3 = 180º Postulado

∢ 3 + 2 ∢ 2 = 180º Postulado

2 ∢ 1 + 2 ∢ 2 + 2 ∢ 3 = 360º

∢ 1 + ∢ 2 + ∢ 3 = 180º

∢ EOF = 180º

Teorema 4

SI L1 ∥ L2, ENTONCES LA SUMA DE LOS ÁNGULOS DE LA IZQUIERDA ES IGUAL A LA SUMA DE LOS ÁNGULOS DE LA DERECHA

Demostración

T) ∢β + ∢α = ∢ 1 + ∢ 2 + ∢ 3

Por construcción

L1 ∥ L2 ∥ l3 ∥ l4 ∥ l5

∢α = ∢ 1 + ∢ 4

∢β = ∢ 5 + ∢ 3

∢β + ∢α = ∢ 1 + ∢ 4 + ∢ 3 + ∢ 5

∢2 = ∢ 4 + ∢ 5

∢β + ∢α = ∢ 1 + ∢ 2 + ∢ 3

ÁNGULOS EN UN TRIANGULO

Teorema 1

La suma de los ángulos internos de un triángulo mide 180= л rad

T).A ̂+ B ̂+ C ̂=180°

CP ╨ AB por construcción

Angulo llano A ̂+ B ̂+ C ̂=180° (∑ ángulos suplementarios)

Teorema 2

La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero mide 360°

T) A ̂+B ̂+C ̂+D ̂=360°

2 ̂+ B ̂+ 3 ̂=180° (∑ Ángulos inter ▲ABC)

1 ̂+ 4 ̂+ D ̂=180° (∑ Ángulos inter ▲ADC)

1 ̂+ 2 ̂+ 3 ̂+4 ̂+B ̂+D ̂=360°

1 ̂+ 2 ̂= A ̂

3 ̂+ 4 ̂= C ̂

A ̂+B ̂+C ̂+D ̂=360° LQQD.

Teorema 3

Cuadrilátero cóncavo.

T)A ̂+ B ̂+ C ̂=X ̂

A ̂+ 1 ̂+ 2 ̂=180° (∑ Ángulos inter ▲)

B ̂+ 3 ̂+ C ̂=180° (∑ Ángulos inter ▲)

X ̂+ 2 ̂= 180° (∑ángulos suplementarios)

1 ̂+ 3 ̂= 180° (∑ángulos suplementarios)

Ecuación 1 (-1)-A ̂- 1 ̂- 2 ̂=-180°

Ecuación 2 (-1)-B ̂- 3 ̂- C ̂=-180°

X ̂+ 2 ̂= 180°

1 ̂+ 3 ̂= 180°

-A ̂- B ̂- C ̂+X ̂=0

A ̂+ B ̂+ C ̂=X ̂ LQQD

Teorema 4

EL ángulo externo es igual a la suma de los otros dos internos.

T) X ̂= A ̂+ B ̂

X ̂+ C ̂=180° (∑ángulos suplementarios)

A ̂+ B ̂+ C ̂=180° (∑ Ángulos inter ▲)

Ecuación 1 (-1)-X ̂- C ̂=-180°

A ̂+ B ̂+ C ̂=180°

_______________________

A ̂+ B ̂-X ̂=0

A ̂+ B ̂=X ̂ LQQD

Teorema 5

T) 1 ̂+ 2 ̂= 3 ̂+4 ̂

1 ̂+ 2 ̂=5 ̂ (Ángulo externo ▲)

3 ̂+ 4 ̂=5 ̂ (Ángulo externo ▲)

1 ̂+ 2 ̂= 3 ̂+4 ̂ LQQD.

Teorema 6

El ángulo formado por dos bisectrices internas es igual a 90° más la mitad del ángulo no bisecado.

X ̂= 90°+ (B/2) ̂

1 ̂+ 2 ̂+ X ̂=180° (∑ Ángulos inter ▲AIC)

21 ̂+ 22 ̂+ B ̂=180° (∑ Ángulos inter ▲ABC)

Ecuación 2(÷(-2)) -1 ̂- 2 ̂+ (B/2) ̂=-90°

X ̂- (B/2) ̂=180°-90°

X ̂- (B/2) ̂=90°

X ̂=90°+ (B/2) ̂ LQQD.

Teorema 7

El ángulo formado por dos bisectrices externas es igual a 90° menos a la mitad del ángulo no bisecado.

T)X ̂= 90°- (A/2) ̂

X ̂+ 1 ̂+ 2 ̂=180° (∑ Ángulos inter ▲B.C.Oa)

A ̂+ B ̂+ C ̂=180° (∑ Ángulos inter ▲ABC)

B ̂+ 21 ̂=180° (∑ángulos suplementarios)

C ̂+ 22 ̂=180° (∑ángulos suplementarios)

Ecuación 1 (2) 2X ̂+ 21 ̂+ 22 ̂=360°

A ̂+ B ̂+ C ̂=180°

Ecuación

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