Sistemas de ecuaciones lineales – Métodos Directos
Ismael FloresPráctica o problema19 de Octubre de 2020
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METODOS NUMERICOS
Tema: Sistemas de ecuaciones lineales – Métodos Directos
Ismael Ronaldo Flores TP3 - parte 1
- Resuelva los siguientes sistemas triangulares aplicando sustitución hacia adelante o hacia atrás, según corresponda:
a)
[pic 1]
Aplico sustitución hacia atrás:
Si an≠0 entonces
Xn = bn/ann
X3= 6/3 = 2
X2= (24 – 2 *4)/ (-2) = -8
X1= (-5 – (-8*2 + 2*3))/5 = 1
Entonces: X[pic 2]
b)
=> [pic 3][pic 4]
Aplico sustitución hacia adelante:
Si a11≠0 entonces
X1 = b1/a11
X3= 6/2 = 3
X2= (4 – 1*3)/1 = 1
X1= (15 – 3*3 + 2*1)/4 = 2
Entonces: X[pic 5]
- Resuelva los siguientes sistemas con el método de Descomposición LU:
a)
=> [pic 6][pic 7]
m21 = 1/2 = 0[pic 8]
m31 = -1/2 = 0[pic 9]
= - m21* = 2 -0,5 * (-1)= 2,5 [pic 10][pic 11][pic 12]
= - m21* = 0 -0,5 * (-1)= 0,5 [pic 13][pic 14][pic 15]
= - m31* = 1 – (-0,5) * (-1)= 0,5[pic 16][pic 17][pic 18]
= - m31* = 0,5 – (-0,5) * (-1)= 0 [pic 19][pic 20][pic 21]
A2 =[pic 22]
m32 = (0,5)/ (2,5) = 1/5 = 0[pic 23]
= - m32* = 0 – (1/5) * (1/2)= -1/10[pic 24][pic 25][pic 26]
L= U= [pic 27][pic 28]
Ahora resolvemos Ly=b, luego Ux=y para obtener x
= [pic 29][pic 30]
Aplicando sustitución hacia adelante nos queda que:
[pic 31]
Ahora calculamos X=:[pic 32]
=[pic 33][pic 34]
Aplicando sustitución hacia atrás nos queda que: X=[pic 35]
2-b)
=> [pic 36][pic 37]
m21 = -1/2 = 0[pic 38]
m31 = 3/2 = 0[pic 39]
= - m21* = 3 – (-0,5) * (-6)= 0[pic 40][pic 41][pic 42]
= - m21* = -2 – (-0,5) * (-3)= -3,5 [pic 43][pic 44][pic 45]
= - m31* = 1 – (3/2) * (-6)= 10[pic 46][pic 47][pic 48]
= - m31* = -3 – (3/2) * (-3)= 1,5 [pic 49][pic 50][pic 51]
A2 = [pic 52]
m32 = a22/ a32 = 10/0 Como no es posible calcular m32, no es posible aplicar el método de Descomposición LU en este sistema.
2-c)
=> [pic 53][pic 54]
Calculamos los multiplicadores:
m21 = 3/4 = 0[pic 55]
m31 = -1/2 = 0[pic 56]
m41 = -5/4 = 0[pic 57]
= - m21* = 2 – (3/4) * (3) = -0,25[pic 58][pic 59][pic 60]
= - m21* = 1 – (3/4) * (-2) = 2,5 [pic 61][pic 62][pic 63]
= - m21* = 5 – (3/4) * (1) = 4,25[pic 64][pic 65][pic 66]
= - m31* = 3 – (-1/2) * (3) = 4,5[pic 67][pic 68][pic 69]
= - m31* = 1 – (-1/2) * (-2) = 0 [pic 70][pic 71][pic 72]
= - m31* = 2 – (-1/2) * (1) = 2,5[pic 73][pic 74][pic 75]
= - m41* = 0 – (-5/4) * (3) = 3,75[pic 76][pic 77][pic 78]
= - m41* = 1 – (-5/4) * (-2) = -1,5[pic 79][pic 80][pic 81]
= - m41* = 1 – (-5/4) * (1) = 2,25[pic 82][pic 83][pic 84]
A2 = [pic 85]
m32 = -18 = 0[pic 86]
m42 = -15 = 0[pic 87]
= - m32* = 0 – (-18) * (5/2)= 45[pic 88][pic 89][pic 90]
= - m32* = 5/2 – (-18) * (4,25)= 79[pic 91][pic 92][pic 93]
= - m42* = -3/2 – (-15) * (5/2)= 36[pic 94][pic 95][pic 96]
= - m42* = 2,25 – (-15) * (4,25)= 66[pic 97][pic 98][pic 99]
A3 =[pic 100]
m43 = 36/45 = 4/5
= - m43* = 66 – (4/5) * (79)= 2,8[pic 101][pic 102][pic 103]
U = L =[pic 104][pic 105]
Ahora resolvemos Ly=b, luego Ux=y para obtener x
=[pic 106][pic 107]
Aplicando sustitución hacia adelante nos queda que:
[pic 108]
Ahora calculamos X=:[pic 109]
= [pic 110][pic 111]
Aplicando sustitución hacia atrás nos queda que: X=[pic 112]
¿Es posible realizar la factorización LU en todos los casos?
No, vemos que en el apartado b) no fue posible
3. Aplicar el método de Descomposición LU con pivoteo parcial para resolver el siguiente sistema Ax=b:
=> = , P = [pic 113][pic 114][pic 115][pic 116]
Primero debemos calcular c1, que es el valor más grande, en valor absoluto, de la columna 1 para ver si debemos intercambiar alguna fila junto con el pivote P
c1 = Max (1,|-1|, 1,0) = 1, por lo tanto no hay cambios, P = [pic 117]
Calculamos los multiplicadores:
m21 = -1 = 0[pic 118]
m31 = 1/1 = 1 = 0[pic 119]
m41 = 0/1 = 0 = 0[pic 120]
= - m21* = 2 – (-1) * (-1) = 1[pic 121][pic 122][pic 123]
= - m21* = -1 – (-1) * (1) = 0 [pic 124][pic 125][pic 126]
...