Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales

Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales

En varios de los planteamientos de equilibrio térmico te encontrarás con sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Estos sistemas tienen la forma:

a11 x + a12 y = b1

a21 x + a22 y = b2

Solucionar un sistema como éste consiste en encontrar el valor de las variables:

x, y de tal manera que las dos ecuaciones sean verdaderas.

A continuación veremos algunos de los métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Método de sustitución

1. De la primera ecuación se despeja una incógnita, puede ser x ó y, en este ejemplo despejaremos x.

2. Se sustituye la incógnita despejada en la segunda ecuación.

3. Se reduce la segunda ecuación, y se encuentra el valor de y.

4. Después se sustituye el valor de y, en la ecuación del paso 1, y se encuentra x.

Ejemplo.

Resolver el sistema

x + y = 1

x − y = 1

Paso 1.

Despejamos de la primera ecuación a x, entonces x = 1 − y.

Paso 2.

Sustituimos x = 1 − y, en la segunda ecuación:

x − y = 1

(1 − y) − y = 1

Paso 3.

Simplificamos:

(1 − y) − y = 1

1 − 2y = 1

1 − 1 = 2y

2y = 0

y = [pic 1]

por lo tanto y = 0.

Paso 4.

Se substituye el valor de y = 0, en la ecuación del paso 1 y obtenemos:

x = 1 − (0) = 1.

Paso 5

Así la solución del sistema es:

x = 1

y = 0

Método de igualación

1. Despejamos de ambas ecuaciones una incógnita, digamos x ó y. En nuestro ejemplo, despejamos x.

2. Igualamos ambos despejes.

3. Despejamos la variable de la ecuación obtenida del paso anterior y ya tenemos el valor de una de las variables que se substituye en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener a la otra.

Ejemplo.

Resolver el sistema

x + 2y = 1

x − y = 1

Paso 1

Despejamos de ambas ecuaciones a x, entonces:

x = 1 − 2y

x = 1 + y

Paso 2

Igualamos ambas ecuaciones del paso anterior: 1 − 2y = 1 + y.

Paso 3

Despejamos a y de la ecuación anterior:

1 − 2y = 1 + y

3y = 0

y = [pic 2]

de donde y = 0.

Paso 4

Ahora, sustituimos el valor de y = 0, en cualquier ecuación del paso 1,

x = 1 − 2y.

Entonces x = 1 − 2(0), por lo tanto x = 1

Paso 5

Por lo tanto la solución del sistema es:

x = 1

y = 0

Por lo tanto la solución del sistema es:

x = 1

y = 0

Método de eliminación o de suma y resta

1. Se analizan los coeficientes de las dos ecuaciones y si es necesario se multiplican por números que sean convenientes (normalmente son los coeficientes opuestos de la misma variable a eliminar).

2.  Las restamos o sumamos y se elimina una de las variables.

3. Se resuelve la ecuación resultante.

4.  El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

5. Los valores obtenidos son la solución del sistema.

Ejemplo.

Resolver el sistema

x + 2y = 1

x − 2y = 1

Paso 1.

En ambas ecuaciones los coeficientes de y son del mismo valor absoluto y de signo contrario, por lo tanto, si sumamos ambas ecuaciones tenemos:

2x = 2

x = [pic 3]

x = 1

Paso 2

Sustituimos a x = 1, en cualquier ecuación del sistema:

(1) + 2y = 1,

2y = 1 – 1

y = [pic 4]

y = 0.

Paso 3

Por lo tanto la solución del sistema es:

x = 1

y = 0

Veamos otro ejemplo.

Resolver el sistema:

3x + 5y = −1

2x − 3y = 5

Paso 1

Observemos que si multiplicamos a la primera ecuación por -2 y a la segunda por 3, logramos que los coeficientes de la x en las dos ecuaciones sean iguales en valor absoluto y de signo contrario:

...